高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向27数列求和经典题型归纳(十二大经典题型)(原卷版+解析).docxVIP

考向27数列求和经典题型归纳

经典题型一：通项分析法

经典题型二：公式法

经典题型三：错位相减法

经典题型四：分组求和法

经典题型五：裂项相消法

经典题型六：倒序相加法

经典题型七：并项求和

经典题型八：先放缩后裂项求和

经典题型九：分段数列求和

经典题型十：含绝对值、取整、取小数等数列求和

经典题型十一：数列插项求和

经典题型十二：数列奇偶项求和

(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；

（2）∴

(2023·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．

(1)求与的通项公式；

(2)设的前n项和为，求证：；

(3)求．

【解析】（1）设公差为d，公比为，则，

由可得（舍去），

所以；

（2）证明：因为所以要证，

即证，即证，

即证，

而显然成立，所以；

（3）因为

，

所以

，

设

所以，

则，

作差得

，

所以，

所以.

一．公式法

（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．

（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．

（3）一些常见的数列的前n项和：

①；

②；

③；

=4\*GB3④

二．几种数列求和的常用方法

（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．

（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．

（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．

常见的裂项技巧

积累裂项模型1：等差型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

积累裂项模型2：根式型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

积累裂项模型3：指数型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6），设，易得，

于是

（7）

积累裂项模型4：对数型

积累裂项模型5：三角型

（1）

（2）

（3）

（4），

则

积累裂项模型6：阶乘

（1）

（2）

常见放缩公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）

；

（11）

；

（12）；

（13）．

（14）．

经典题型一：通项分析法

1．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））数列，，，，，，的前项和的值等于_____________

2．(2023·湖南·模拟预测）已知单调递减的正项数列，时满足．为前n项和．

(1)求的通项公式；

(2)证明：.

3．(2023·全国·高三专题练习）求和．

4．数列9，99，999，的前项和为

A． B． C． D．

经典题型二：公式法

5．已知等差数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

6．如图，从点做轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；，，记点的坐标为，，2，，．

（Ⅰ）试求与的关系；

（Ⅱ）求．

经典题型三：错位相减法

7．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，且.

(1)求与的通项公式；

(2)记，求的前项和为.

8．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前项和为，证明：.

9．(2023·河南·高三开学考试（文））在①；②；③，三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答．

已知数列的前项和为，且，______．

(1)；

(2)设求数列的前项和．

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

10．(2023·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）在数列中，，其中.

(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；

(2)设，数列的前n项和为，求；

经典题型四：分组求和法

11．(2023·河南省杞县高中高三开学考试（文））已知数列满足，设.

(1)证明：是等比数列；

(2)求.

12．(2023·广东·高三开学考试）已知数列满足，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项的和.

13．(2023·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（文））已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和

14．(2023·河南