高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向26数列通项公式的多种妙解方式(十六大经典题型)(原卷版+解析).docxVIP

考向26数列通项公式的多种妙解方式

经典题型一：观察法

经典题型二：叠加法

经典题型三：叠乘法

经典题型四：待定系数法

经典题型五：同除以指数

经典题型六：取倒数法

经典题型七：取对数法

经典题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题

经典题型九：周期数列

经典题型十：前n项积型

经典题型十一：“和”型求通项

经典题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型

经典题型十三：因式分解型求通项

经典题型十四：其他几类特殊数列求通项

经典题型十五：双数列问题

经典题型十六：通过递推关系求通项

(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；

（2）∴

(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

【解析】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．

（2）由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．

类型Ⅰ观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．

类型Ⅱ公式法：

若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．

类型Ⅲ累加法：

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相加，可得：

=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；

=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．

类型Ⅳ累乘法：

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相乘，可得：

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．

类型Ⅴ构造数列法：

（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：

（1）若时，数列{}为等差数列；

（2）若时，数列{}为等比数列；

（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：

法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出

（二）形如型的递推式：

（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出

（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出

法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．

（3）当为任意数列时，可用通法：

在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．

类型Ⅵ对数变换法：

形如型的递推式：

在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．

类型Ⅶ倒数变换法：

形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；

还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．

类型Ⅷ形如型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式

（1）若数列的前项和为，通项公式为，则

注意：根据求时，不要忽视对的验证．

（2）在数列中，