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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.集合,则(????)
A. B. C. D.
2.已知,设甲:,乙:,则(????)
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
3.设,,,则的大小关系为(????)
A. B. C. D.
4.2023年第19届亚运会在杭州举行,亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱,某商家统计了最近5个月销量,如表所示:若y与x线性相关,且线性回归方程为,则下列说法不正确的是(????)
时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万只
5
4.5
4
3.5
2.5
A.由题中数据可知,变量y与x负相关
B.当时,残差为0.2
C.可以预测当时销量约为2.1万只
D.线性回归方程中
5.某饮料厂生产两种型号的饮料,已知这两种饮料的生产比例分别为,且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为,若从该厂生产的饮料中任选一瓶,则选到非碳酸饮料的概率约为(????)
A.0.12 B.0.20 C.0.44 D.0.32
6.已知,则(????)
A. B. C. D.
7.函数在区间上的零点个数为(????)
A.无穷多个 B.4个 C.2个 D.0个
8.若正数,满足:,则的最大值为(????)
A. B. C. D.2
二、多选题
9.已知函数,则(????)
A.为的一个周期
B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为
D.在区间上单调递减
10.已知向量,则下列命题正确的是(????)
A.若,则
B.若在上的投影向量为,则向量与的夹角为
C.存在,使得
D.的最大值为
三、单选题
11.设函数,则下列选项正确的是(????)
A.为奇函数
B.当时,的最小值为
C.若函数有四个零点,则实数的取值范围是
D.函数的图象关于点对称
四、填空题
12.已知复数,则当时,复数对应的点在虚轴上.
13.的内角的对边分别为,设,则.
14.已知两个不同的正数满足,则的取值范围是.
五、解答题
15.已知,,.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
16.在中,角的对边分别为.
(1)求;
(2)若的面积为边上的高为1,求的周长.
17.已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
18.甲乙两人参加知识竞赛活动,比赛规则如下:两人轮流随机抽题作答,答对积1分且对方不得分,答错不得分且对方积1分,然后换对方抽题作答,直到有领先2分者晋级,比赛结束.已知甲答对题目的概率为,乙答对题目的概率为P,答对与否相互独立,抽签决定首次答题方,已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
(1)求P;
(2)当时,求甲得分X的分布列及数学期望;
(3)若答题的总次数为n时,甲晋级的概率为,证明:.
19.已知函数.
(1)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知直线是曲线的两条切线,且直线的斜率之积为1.
(i)记为直线交点的横坐标,求证:;
(ii)若也与曲线相切,求的关系式并求出的取值范围.
答案第=page11页,共=sectionpages22页
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参考答案:
1.C
【分析】先解集合中的不等式,解出的范围,再求得即可.
【详解】由,解得,即,
,.
故选:C.
2.B
【分析】先举出反例得到充分性不成立,两边平方后推出必要性成立.
【详解】不妨设,满足,此时,充分性不成立,
,两边平方得,
又,故,必要性成立,
故甲是乙的必要不充分条件.
故选:B
3.A
【分析】根据指对数的性质,求出、、的大致范围,即可进行比大小.
【详解】,因为,所以,故,
,所以.
故选:A.
4.B
【分析】对于选项A,利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解;对于选项B,利用样本中心点求出线性回归方程,再利用回归方程即可求出预测值,进而可求出残差;对于选项C,利用回归方程即可求出预测值;对于选项D,利用回归方程一定过样本中心点即可求解.
【详解】对于选项A,从数据看,随的增大而减小,所以变量与负相关,故A正确;
对于选项B,由表中数据知,,
所以样本中心点为,将样本中心点代入中得,
所以线性回归方程为,所以,残差,故B错误;
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