2023-2024学年安徽省芜湖市第一中学高一上学期自主招生考试数学试卷含详解.docx

2023年高一自主招生考试

数学试卷

（满分：150分）

一?选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中）

1.将4046减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，依次类推，直至最后减去余下的，则最后余下的数为（）

A.4 B.3 C.2 D.1

2.若正实数满足不等式组，则的大小关系为（）

A. B.

C. D.

3.若实数满足等式，则（）

A B. C. D.4

4.在中，，点是平面内一动点，且，连，则长的最大值是（）.

A.8 B.9 C.10 D.11

5.已知三个实数，它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7，则这样的三元数组共有（）组.

A.3 B.4 C.5 D.6

6.如图，在中，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰，使，连，则（）

A. B. C. D.

7.四边形中，是其两对角线，是等边三角形，，，则（）

A. B. C. D.

二?填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

8.已知19个连续整数的和为380，则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__________.

9.已知，则__________.

10.在实数范围内因式分解：__________.

11.在平面直角坐标系中，点，连，若线段分别交曲线于点（异于点），若，则值为__________.

12.把两个半径为8和一个半径为9圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于__________.

13.在菱形中，，点分别在边上，将沿着对折，使点恰好落在对角线上点，若，则的面积等于__________.

14.对于任意不为0的实数定义一种新运算“#”：①；②，则关于的方程的根为__________.

三?解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤）

15.（1）解方程：；

（2）求所有的实数，使得关于的方程的两根均为整数.

16.如图，点是正方形的边上一动点（异于），连，以为对角线作正方形与交于点，连.

（1）求证：三点共线；

（2）若，求的值.

17.在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，且在轴上截得的线段长为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点在抛物线上，且在其对称轴右侧，点在抛物线对称轴上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；

（3）将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线，直线与交于两点，直线与交于两点，若分别为线段和线段的中点，连，求证：直线过定点.

18.如图，等边内有一动点是等边三角形（点在直线两侧），直线与直线交于点.

（1）判断的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由.

（2）若，求线段长的最小值.

2023年高一自主招生考试

数学试卷

（满分：150分）

一?选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中）

1.将4046减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，依次类推，直至最后减去余下的，则最后余下的数为（）

A.4 B.3 C.2 D.1

【答案】C

【分析】由已知，4046减去它，余下，再减去余下的，余下的数为，以此类推，直至最后减去余下的，最后计算出结果.

【详解】令，则第一次余下的数为，

第二次余下的数为，

第三次余下的数，

依次类推，最后余下的数为.

故选：C.

2.若正实数满足不等式组，则的大小关系为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【分析】根据题意，化简不等式为，得到，即可求解.

【详解】由不等式组，因为均为正实数，于是，

所以，所以.

故选：B.

3.若实数满足等式，则（）

A. B. C. D.4

【答案】A

【分析】移项化简得，根据非负性求解即可.

【详解】由条件知，根据非负性可知，所以，

故选：A.

4.在中，，点是平面内一动点，且，连，则长的最大值是（）.

A.8 B.9 C.10 D.11

【答案】B

【分析】延长到点，使，连，画出图形后找到的轨迹即点在以为直径的圆上（与在直线同侧），再利用圆上的点到点的距离最大值求出即可.

【详解】

要使长取到最大，则点与点位于直线两侧.

延长到点，使，连，则，

于是点在以为直径的圆上（与在直线同侧），

设圆心为，则，

当三点共线时，长取到最大，最大值为，

故选：B

5.已知三个实数，它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7，则这样的三元数组共有（