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2023-2024学年度第二学期高三数学热身练习
班级________????姓名________????学号________
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.设集合,,则集合(????)
A. B. C. D.
2.在复平面,复数z对应的点坐标为,则(????)
A.i B.-i C. D.
3.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是(????)
A. B. C. D.
4.若双曲线的离心率为,则(????)
A.2 B. C.1 D.
5.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数(????)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.展开式中的系数为10,则实数a等于【】
A.-1 B. C.1 D.2
7.已知函数,若,且,则下面结论错误的是(????)
A. B.
C. D.
8.对于无穷数列,定义(),则“为递增数列”是“为递增数列”的(????)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.点F抛物线的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若,则(????)
A.2 B. C.3 D.
10.中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间,壶形都为正四棱台,自上而下,三个漏壶的上底宽依次递减1寸(约3.3厘米),下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为,,,则(????)
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.函数的定义域是.
12.设等比数列的公比,前项和为,则.
13.在中,若,,,则,.
14.若直线与交于,两点,则面积的最大值为,写出满足“面积最大”的的一个值.
15.已知函数,下面命题正确的是.
①存在,使得;
②存在,使得;
③存在常数,使得恒成立;
④存在,使得直线与曲线有无穷多个公共点.
三、解答题(本大题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
16.已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)从条件①,条件②,条件③选择一个作为已知条件,求m的取值范围.
①在有恰有两个极值点;
②在单调递减;
③在恰好有两个零点.
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
17.如图.在四棱锥P-ABCD中.平面.底面ABCD.E.F.E.分别为AB.PD的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,,,求直线CD与平面EFC所成角的正弦值.
18.根据2024城市魅力排行榜,一线城市4个,分别为:上海、北京、深圳、广州;新一线城市15个,分别为:成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个,分别为:上海、北京、深圳、重庆、广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市,求该城市是一线城市的概率;
(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量X表示新一线城市的数量,求随机变量X的分布列和期望;
(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量Y表示新一线城市的数量,比较E(X)与E(Y)的大小关系.(直接写出结果)
19.已知椭圆的左顶点为A,上顶点为B,下顶点为C,若椭圆的,三角形ABC的面积为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点D(0,2),直线AD交椭圆于点E,过点D的直线交椭圆于M,N两点,若直线CM与x轴交于P点,过E且平行于x轴的直线与BN交于Q点,求的值.
20.已知函数,其中a为常数且.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)讨论函数的单调区间;
(3)当时,若过点的切线l分别与x轴和y轴于,A,B两点,O为坐标原点,记的面积为S,求S的最小值.
21.记集合.对任意,,记,对于非空集合,定义集合.
(1)当时,写出集合;对于,写出;
(2)当时,如果,求的最小值;
(3)求证:.
(注:本题中,表示有限集合A中的元素的个数.)
1.A
【分析】先解不等式求集合,再求并集即可.
【详解】由得到,故,
又,所以.
故选:A.
2.B
【分析】由题可得,再由复数除法法则即可求解.
【详解】z对应的点坐标为,所以,
所以
故选:B.
3.D
【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可.
【详解】对于A,定义域为,因为,所以此函数为奇函数,所以A错误,
对于B,定义域为,因为,所以此函数为偶函数,
因为在上递增,所以B错误,
对于C,定义域为,因为,所以此函数为偶函数,
因为在上有增区间也有减
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