高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题38立体几何中的距离、截面、折叠问题(原卷版+解析).docxVIP

2023高考一轮复习讲与练

专题38立体几何中的距离、截面、折叠问题

立体几何中的距离、截面、折叠问题

立体几何中的距离、截面、折叠问题

距离问题

点点距

点面距

截面问题形状面积

截面问题

形状

面积

折叠问题

练高考明方向

1.(2023·新高考Ⅰ卷T19）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

（1）求A到平面的距离；

（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

2．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 ()

A． B． C．1 D．

3．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．

(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)求图2中的二面角B?CG?A的大小．

4、(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)如图，菱形的对角线与交于点，，

点分别在上，，交于点．将沿折到的位置，．

(=1\*ROMANI)证明：平面；

(=2\*ROMANII)求二面角的正弦值．

5．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

(1)证明:平面平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

6．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知正方体的校长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面而积的最大值为 ()

A． B． C． D．

7．(2023新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为，半径为5cm，该纸片上的等边三角形的中心为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥。当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_______。

8．(2023陕西）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

9．(2023浙江）如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则

10．(2023浙江）已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，

A．存在某个位置，使得直线与直线垂直

B．存在某个位置，使得直线与直线垂直

C．存在某个位置，使得直线与直线垂直

D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直

11．(2023高考数学新课标2理科)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ()

()

A． B． C． D．

12．(2023广东）如图2，四边形为矩形，⊥平面，,,作如图3折叠，折痕∥．其中点，分别在线段，上，沿折叠后点在线段上的点记为，并且⊥．

（Ⅰ）证明：⊥平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

13．(2023江西)如图，在梯形中，，，是线段上的两点，且，，=12，=5，=4，=4，现将△，△分别沿，折起，使，两点重合与点，得到多面体．

(1)求证：平面平面；

(2)求多面体的体积．

14．(2023福建）在平行四边形中，，,将沿折起，使得平面平面，如图．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．

15．(2023广东）如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是

上的点,,为的中点.将沿折起，得到如图2

所示的四棱锥,其中.

（Ⅰ）证明:平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.

16．(2023浙江）如图，在平行四边形中，=2，∠=120°．为线段的中点，将△沿直线翻折成△，使平面⊥平面，为线段的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值．

讲典例备高考

类型一、距离问题

1、直线外一点P到直线l的距离：如图，直线l的单位方向向量为u，设eq\o(AP,\s\up7(―→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up7(―→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up7(―→))＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(―→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(―→))|2)＝a2－(a·u)2

2、平面外一点P到平面α的距离：如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(