李尚志线性代数习题答案.pdf

李尚志线性代数习题答案

李尚志线性代数习题答案

线性代数是一门重要的数学学科，它在各个领域都有广泛的应用。而李尚志老

师的线性代数习题集，无疑是学习这门学科的重要参考资料。本文将为大家提

供一些李尚志线性代数习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1.矩阵的乘法

题目：计算以下两个矩阵的乘积。

A=[123]

[456]

B=[78]

[910]

[1112]

答案：首先，我们需要确定乘积矩阵的维度。由于A是一个2x3的矩阵，B是

一个3x2的矩阵，所以乘积矩阵的维度应该是2x2。

接下来，我们按照矩阵乘法的定义进行计算。乘积矩阵C的第一行第一列元素

为A的第一行与B的第一列对应元素的乘积之和，即：

C[1,1]=(1*7)+(2*9)+(3*11)=58

同理，可以计算出C的其他元素：

C[1,2]=(1*8)+(2*10)+(3*12)=64

C[2,1]=(4*7)+(5*9)+(6*11)=139

C[2,2]=(4*8)+(5*10)+(6*12)=154

所以，乘积矩阵C为：

C=[5864]

[139154]

2.矩阵的逆

题目：求以下矩阵的逆矩阵。

A=[21]

[43]

答案：要求一个矩阵的逆矩阵，我们需要首先判断该矩阵是否可逆。一个矩阵

可逆的充要条件是其行列式不为零。计算矩阵A的行列式：

det(A)=(2*3)-(1*4)=2

由于行列式不为零，所以矩阵A可逆。接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解

逆矩阵。首先，计算矩阵A的伴随矩阵：

adj(A)=[3-1]

[-42]

然后，计算逆矩阵A的每个元素：

A^(-1)=(1/det(A))*adj(A)

A^(-1)=(1/2)*[3-1]

[-42]

所以，矩阵A的逆矩阵为：

A^(-1)=[3/2-1/2]

[-21]

3.特征值和特征向量

题目：求以下矩阵的特征值和对应的特征向量。

A=[21]

[43]

答案：要求一个矩阵的特征值和特征向量，我们需要解矩阵的特征方程。特征

方程的形式为：

det(A-λI)=0

其中，A是给定矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。对于矩阵A，我们可以写出

特征方程：

det(A-λI)=det([2-λ1]

λ])[43-

计算特征方程的行列式：

(2-λ)(3-λ)-(1*4)=0

展开并整理得到：

λ^2-5λ+2=0

解这个二次方程，我们可以得到两个特征值：

λ1=(5+√17)/2

λ2=(5-√17)/2

接下来，我们需要求解每个特征值对应的特征向量。将特征值代入特征方程，

可以得到两个方程：

(2-λ1)x+y=0

4x+(3-λ1)y=0

解这个方程组，我们可以得到特征向量：

v1=[1,(λ1-2)/1]

同理，对于特征值λ2，我们可以得到特征向量：

v2=[1,(λ2-2)/1]

所以，矩阵A的特征值为λ1和λ2，对应的特征向量为v1和v2。

通过以上几个习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和计算方法。

希望这些答案对大家的学习有所帮助，同时也希望大家能够深入学习和理解线

性代数的更多内容，掌握其在实际问题中的应用。