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应用矩阵的迹检验高维协方差矩阵相等

摘要：数学、统计学及物理学等多学科领域中均是随机矩阵理论

的活跃研究领域，并且发展迅猛。现如今，随机矩阵理论及其应

用范围十分广泛，其在多元统计分析中应用的研究也得到了越来

越多的专家学者的关注。本文就随机矩阵理论的研究背景、目的

意义及发展趋势进行了粗浅分析，以探究随机矩阵理论在高维多

元统计分析的检验问题中的应用问题，为发掘随机矩阵理论更多

的应用研究价值提供新思路。

关键词：随机矩阵理论；多元统计分析；检验问题

中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-

9324（2016）32-0200-02

一、随机矩阵理论的研究背景

随机矩阵理论在发展的早期研究阶段主要用于科研探索研究，在

数学和物理等学科得到广泛应用。随着随机矩阵理论的进一步深

入研究，随机矩阵理论被应用到股市的价格波动预示，乃至后来

对于金融资产收益、医学生理信号、磁场电子运动等方面的研究

探索。随着随机矩阵理论被广泛应用于解决一些科学研究或工程

实践等问题，国内外对于随机矩阵理论的研究均有了突破性进展

。国内外均有对于随机矩阵理论与频谱感知进行科学连接的研究

。

二、随机矩阵理论研究的目的意义及发展趋势

随机矩阵意味着所有的元素都是随机变量。随机矩阵理论主要是

研究在满足某些条件时随机矩阵的特征根的性质。其中统计中的

样本协方差矩阵是随机矩阵理论中的一类重要研究对象，并且由

于目前现实生活中高维数据的大量出现，利用随机矩阵理论去进

行高位数据的分析越来越流行。随机矩阵理论自从被提出来后，

受到了无数的不同领域的学者的关注。首先是数学家，原因是本

身对于矩阵各种性质的研究就是数学家们关心的重点，而更重要

的是随机矩阵理论与数学上备受关注的黎曼猜想有着大量的数值

证据关联。目前已经有大量的研究数据表明，黎曼ζ函数的非平

凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄尔米特矩阵特征根分布

来描述，但是遗憾的是还没有严格的数学证明，所以目前包括像

菲尔兹奖获得者Terence

Tao等很多世界著名数学家都在从事随机矩阵理论的研究。另外

，包括统计学家、物理学家、经济学家和通讯学家在内的学者们

也同样对随机矩阵理论有很高的关注度，因为随着计算机技术的

飞速发展和广泛应用，人们得以搜集储存大维巨量数据（比如多

体物理学、现代经济学以及通讯中的信号处理中的大维数据），

然而建立在经典的极限理论（假设维数固定，而样本容量趋于无

穷）下的多元统计方法被应用于大维数据时，它们或者根本不可

以应用，或者即使可以应用，其效率也会非常低。所以统计学家

利用大维随机矩阵的谱分析理论（这时我们假设维数趋于无穷）

，对那些传统的统计分析方法进行了必要的修正，使之适用于大

维统计分析。随机矩阵理论及其统计应用中有着诸多经典结果被

世界所认可，这也是随机矩阵理论可以进行高维检验的理论基础

。

三、随机矩阵的经验谱分布函数

四、多元统计分析

多元统计分析是指对于元素为随机变量的向量和元素为随机变量

的矩阵进行的分析。其中随机变量X的分布函数表现为：F（a）=

P（X=a）

随机向量X=（X1，X2，…，Xn）的分布函数为：F（X1，X2，…

，Xn）=P（X1=x1，X2=x2，…，Xn=xn）

多元统计分析的数字特征包括数字期望、协方差矩阵和相关矩阵

。其中随机矩阵X的数学期望表现为：E（aX）=aE（X）

E（AXB+C）=AE（X）B+C

E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（X1）

（其中a，A，B，C均为常数；X1，X2，…，Xn为n个同阶的矩阵

）

多元统计分析是统计学的延伸，是运用数理统计学的方法对多变

量、多个指标进行研究分析的理论和方法。多元统计分析涉及对

变量或指标根据其相似性进行分类，以求达到类别中对象的同质

性做大化或是类别间异质性最大化的聚类分析；对于自变量与因

变量没有严格确定的函数关系时，用来反映依据一种因变量与多

种自变量之间线性或是非线性数学模型数量关系的多元回归分析

；根据总体变量或是指标来衡量样本变量或是指标的判别分析；

通过将具有一定相关性的多个指标重新组合成一组新的相互没有

关系的综合指标来探究多个变量或指标间相关性的主成分分析，

此外还有典型相关分析、多元方差分析等。

五、随机矩阵在多元统计分析中的运用

1.检验多个高维均值。对于高维均值变量的统计分析，是多元统

计分析中的重要组成部分。然而，随机矩对于高维数据的