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数值分析第五清华大学出社第
二重积分概念详解演示文稿
在是1\一共有27\于星期一
（优选）数值分析第五清华大
学出社第二重积分概念
在是2\一共有27\于星期一
一、引例
1.曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体:
底：xoy面上的闭区域D
顶:连续曲面
侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面
求其体积.
解法:类似定积分解决问题的思想:
“大化小,常代变,近似和,求极限”
在是3\一共有27\于星期一
1)“大化小”
用任意曲线网分D为n个区域
以它们为底把曲顶柱体分为n个
小曲顶柱体
2)“常代变”
在每个中任取一点则
3)“近似和”
在是4\一共有27\于星期一
4)“取极限”
令
在是5\一共有27\于星期一
2.平面薄片的质量
有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,其面密
度为计算该薄片的质量M.
设D的面积为,则
若非常数,仍可用
“大化小,常代变,近似和,求极限”
解决.
1)“大化小”
用任意曲线网分D为n个小区域
相应把薄片也分为小区域.
在是6\一共有27\于星期一
2)“常代变”
中任取一点则第k小块的质量
3)“近似和”
4)“取极限”
在是7\一共有27\于星期一
两个问题的共性：
(1)解决问题的步骤相
“大化小,常代变,近似和,取极限”
(2)所求量的结构式相
曲顶柱体体积:
平面薄片的质量:
在是8\一共有27\于星期一
二、二重积分的定义及可积性
定义:是定义在有界区域D上的有界函数,
将区域D任意分成n个小区域
任取一点若存在一个常数I,使
记作
可积,在D上的二重积分.
积分和积分表达式
积分域被积函数面积元素
在是9\一共有27\于星期一
如果在D上可积,可用平行坐标轴的直线来划
分区D,这时因此面积元素也常
记作二重积分记作
引例1中曲顶柱体体积:
引例2中平面薄板的质量:
在是10\一共有27\于星期一
二重积分存在定理:(证明略)
定理1.若函数在有界闭区D上连续,则
在D上可积.
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