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一、直线、平面平行的判定及其性质
知识点一、直线与平面平行的判定
ⅰ.直线和平面的位置关系〔一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种〕
位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
a?α
a∩α=A
a||α
图形表示
注:直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
ⅱ.思考:如图,设直线b在平面α内,直线a在平面α外,猜测在什么条件下直线a与平面α平行.〔a||b〕
直线与平面平行的判断
判定
文字描述
直线和平面在空间平面永无交点,那么直线和平面平行〔定义〕
平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
图形
条件
a与α无交点
结论
a∥α
b∥α
线线平行,那么线面平行〔线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况〕
※判定定理的证明
知识点二、直线与平面平行的性质
性质
文字描述
一条直线与一个平面平行,那么这条直线与该平面无交点
一条直线和一个平面平行,那么过这条直线的任一平面与此平面相交,这条直线和交线平行.
图形
条件
a∥α
a∥αa?βα∩β=b
结论
a∩α=?
a∥b
线面平行,那么线线平行
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:①利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线”平行,证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理,通过“面面”平行,证得“线面”平行.
知识点三、平面与平面平行的判定
判定
文字描述
如果两个平面无公共点,责成这两个平面平行
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
如果两个平面同时垂直于一条直线,那么这两个平面垂直。
图形
条件
α∩β=?
b?β
a∩b=P
a∥α
b∥α
l⊥α
l⊥β
结论
α∥β
α∥β
α∥β
知识点四、平面与平面平行的性质
性质
文字描述
如果两个平行平面同时和第三平面相交,那么他们的交线平行
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面
图形
条件
α∥β
β∩γ=b
α∩γ=a
α∥β
a?β
结论
a∥b
a∥α
二、直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定
定义
判定
语言描述
如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直,记作l⊥α
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与该平面垂直.
图形
条件
b为平面α内的任一直线,而l对这一直线总有l⊥α
⊥,⊥,∩=B,?,?
结论
⊥
⊥
要点诠释:定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”,这与“无数条直线”不同〔线线垂直线面垂直〕
知识点二、直线和平面垂直的性质
性质
语言描述
一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线
垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形
条件
结论
知识点三、二面角
Ⅰ.二面角::从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角〔dihedralangle〕.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角.〔简记〕
二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上
ⅱ.线在面内
ⅲ.与棱垂直
Ⅱ.二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面内分别作垂直于棱的射线和,那么射线和构成的叫做二面角的平面角.
作用:衡量二面角的大小;范围:.
知识点四、平面和平面垂直的定义和判定
定义
判定
文字描述
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直.
一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
图形
结果
α∩β=lα-l-β=90oα⊥β
〔垂直问题中要注意题目中的文字表述,特别是“任何”“随意”“无数”等字眼〕
知识点五、平面和平面垂直的性质
面面垂直线面垂直〔如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直〕
例题
1.如图,假设是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,那么以下结论中不正确的选项是
A.EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C.是棱柱D.是棱台
2能保证直线a与平面α平行的条件是〔A〕
A.aα,bα,a∥bB.bα,a∥b
C.bα,c∥α,a∥b,a∥c
D.bα,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b且AC=BD
3以下命题正确的选项是〔D
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