函数的单调性与凹凸性最新完整版本.pptVIP

*3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1.单调性判别法2.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用3.曲线凹凸性与拐点的概念4.曲线凹凸性与拐点的判别法一、单调性的判别法定理设函数在上连续,在内可导(1)则函数在上单调增加;(2)则函数在上单调减少;证且应用拉氏定理得内若在内若在若在内,在上单调增加.若在内,在上单调减少.则则例1讨论函数的单调性.又解在内，函数单调减少；在内，函数单调增加.注：函数的单调性是一个区间上的性质，完数在这一区间上的符号来判定，的导数符号来判别一个区间上的单调性.要用导而不能用一点处单调区间的求法问题:如何确定函数在定义域内各部分区间上函数的单调性.定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.注意:导数等于零的点和不可导点,均可能是单调区间的分界点.方法:用方程的根来划分函数的定义区间,然后判断区间内导数的符号.不存在的点及完例2讨论函数的单调区间.解当时，导数不存在.当时，在上单调减少；当时，在上单调增加；单调区间为，.注意区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，但是上单调增加.完例3确定函数的单调区解解方程得当时，在上单调增加；当时，在上单调减少；间.在上单调增加；当时，单调区间为例4试证明：当时，证作辅助函数因为在上连续，在内可导，当时，又故当时，所以完且例5证明方程在区间内有且只有一个实根.证令因在闭区间上连续，且根据零点定理在内有一个零点.另一方面，对于任意实数有所以内单调增加，因此曲线在与轴至多只有一个交点.综上所述可知，方程在区间内有且只有一个实根.二、曲线凹凸的概念问题如何研究曲线的弯曲方向?定义设在区间内连续,若对上任意两点恒有则称在上的图形是凹的.若对上任意两点恒有则称在上的图形是凸的.定理2设在上连续,在内具有二阶导数,若在内(1)则在上的图形是凹的;证明在情形(1),设和为内任意两点,且记并记则由拉格朗日中值公式,得(2)则在上的图形是凸的.其中两式相减,即得对在区间上格朗日中值公式,得再利用拉格朗日中值公式,得其中按情形(1)的假设,故即亦即所以在上的图形是凹的.完例6判定的凹凸性.解因为所以，题设函数在其定义域内是凹的.完例7判断曲线的凹凸性.解当时，曲线在为凸的；当时，曲线在为凹的；注意到点是曲线由凸变凹的分界点.曲线的拐点及其求法定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.拐点的求法:根据定义知,如果在点的左右两侧邻近处异号,则点就是曲线的一个拐点,如果进一步要求函数在区间内具有二阶连续导数,则在这样的点处必有此外,使函数的二阶导数不存在的点,也可能是使导数符号发生变化的分界点.综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的*