相似三角形经典题(含答案).doc

相似三角形经典习题

例1从下面这些三角形中，选出相似的三角形．

例2：如图，ABCD中，，求与的周长的比，如果，求．

例3如图，∽，求证：∽．

例4以下命题中哪些是正确的，哪些是错误的？

〔1〕所有的直角三角形都相似．〔2〕所有的等腰三角形都相似．

〔3〕所有的等腰直角三角形都相似．〔4〕所有的等边三角形都相似．

例5如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．

例6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，手臂长约60厘米，求电线杆的高．

例7如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，假设m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度〔精确到0.1m〕．

例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．

例9根据以下各组条件，判定和是否相似，并说明理由：

〔1〕．

〔2〕．

〔3〕．

例10如图，以下每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

例11：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．

例12的三边长分别为5、12、13，与其相似的的最大边长为26，求的面积S．

例13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处〔如图〕，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为

例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使，然后再选点E，使，确定BC与AE的交点为D，测得米，米，米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？

例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步〔1步等于5尺〕，并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？〔古代问题〕

例16如图，△ABC的边AB＝，AC＝2，BC边上的高AD＝．

〔1〕求BC的长；

〔2〕如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．

相似三角形经典习题答案

解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似

解是平行四边形，∴，∴∽，

又，∴，∴与的周长的比是1：3．

又，∴．

例3分析由于∽，那么，因此，如果再进一步证明，那么问题得证．

证明∵∽，∴．

又，∴，

∴．

∵∽，∴．

在和中，∵，∴∽

例4．分析〔1〕不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．

〔2〕也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．

〔3〕正确．设有等腰直角三角形ABC和，其中，

那么，

设的三边为a、b、c，的边为，

那么，

∴，∴∽．

〔4〕也正确，如与都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此∽．

答：〔1〕、〔2〕不正确．〔3〕、〔4〕正确．

例5．解：

画法略．

例6．分析此题所表达的内容可以画出如以下图那样的几何图形，即厘米米，厘米米，米，求BC．由于∽，又∽，∴，从而可以求出BC的长．

解，∴，∴∽．∴．

又，∴，

∴∽，∴，∴．

又厘米米，厘米米，米，∴米．即电线杆的高为6米．

例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，与的相似关系就明确了．

解因为，所以∽．

所以，即．所以〔m〕．

说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．

例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．

解在格点中，所以，

又．所以．所以∽．

说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．

例9．解〔1〕因为，所以∽；

〔2〕因为，两个三角形中只有，另外两个角都不相等，所以与不相似；

〔3〕因为，所以相似于．

例10．解〔1〕∽两角相等；〔2〕∽两角相等；

〔3〕∽两角相等；〔4〕∽两边成比例夹角相等；

〔5〕∽两边成比例夹角相等；〔6〕∽两边成比例夹角相等．

例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底