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相似三角形经典习题
例1从下面这些三角形中,选出相似的三角形.
例2:如图,ABCD中,,求与的周长的比,如果,求.
例3如图,∽,求证:∽.
例4以下命题中哪些是正确的,哪些是错误的?
〔1〕所有的直角三角形都相似.〔2〕所有的等腰三角形都相似.
〔3〕所有的等腰直角三角形都相似.〔4〕所有的等边三角形都相似.
例5如图,D点是的边AC上的一点,过D点画线段DE,使点E在的边上,并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE的画法.
例6如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,手臂长约60厘米,求电线杆的高.
例7如图,小明为了测量一高楼MN的高,在离N点20m的A处放了一个平面镜,小明沿NA后退到C点,正好从镜中看到楼顶M点,假设m,小明的眼睛离地面的高度为1.6m,请你帮助小明计算一下楼房的高度〔精确到0.1m〕.
例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.
例9根据以下各组条件,判定和是否相似,并说明理由:
〔1〕.
〔2〕.
〔3〕.
例10如图,以下每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.
例11:如图,在中,是角平分线,试利用三角形相似的关系说明.
例12的三边长分别为5、12、13,与其相似的的最大边长为26,求的面积S.
例13在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处〔如图〕,然后沿BC方向走到D处,这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上,又测得C、D两点的距离为3米,小芳的目高为
例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使,然后再选点E,使,确定BC与AE的交点为D,测得米,米,米,你能求出两岸之间AB的大致距离吗?
例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB的高度,在D和F处树立标杆DC和FE,标杆的高都是3丈,相隔1000步〔1步等于5尺〕,并且AB、CD和EF在同一平面内,从标杆DC退后123步的G处,可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上,从标杆FE退后127步的H处,可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?〔古代问题〕
例16如图,△ABC的边AB=,AC=2,BC边上的高AD=.
〔1〕求BC的长;
〔2〕如果有一个正方形的边在AB上,另外两个顶点分别在AC,BC上,求这个正方形的面积.
相似三角形经典习题答案
解①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似
解是平行四边形,∴,∴∽,
又,∴,∴与的周长的比是1:3.
又,∴.
例3分析由于∽,那么,因此,如果再进一步证明,那么问题得证.
证明∵∽,∴.
又,∴,
∴.
∵∽,∴.
在和中,∵,∴∽
例4.分析〔1〕不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.
〔2〕也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同.
〔3〕正确.设有等腰直角三角形ABC和,其中,
那么,
设的三边为a、b、c,的边为,
那么,
∴,∴∽.
〔4〕也正确,如与都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此∽.
答:〔1〕、〔2〕不正确.〔3〕、〔4〕正确.
例5.解:
画法略.
例6.分析此题所表达的内容可以画出如以下图那样的几何图形,即厘米米,厘米米,米,求BC.由于∽,又∽,∴,从而可以求出BC的长.
解,∴,∴∽.∴.
又,∴,
∴∽,∴,∴.
又厘米米,厘米米,米,∴米.即电线杆的高为6米.
例7.分析根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,与的相似关系就明确了.
解因为,所以∽.
所以,即.所以〔m〕.
说明这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.
例8.分析这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度.
解在格点中,所以,
又.所以.所以∽.
说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.
例9.解〔1〕因为,所以∽;
〔2〕因为,两个三角形中只有,另外两个角都不相等,所以与不相似;
〔3〕因为,所以相似于.
例10.解〔1〕∽两角相等;〔2〕∽两角相等;
〔3〕∽两角相等;〔4〕∽两边成比例夹角相等;
〔5〕∽两边成比例夹角相等;〔6〕∽两边成比例夹角相等.
例11.分析有一个角是65°的等腰三角形,它的底
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