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第五章平面向量与复数
5.1平面向量的概念及线性运算
课程标准有的放矢
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.
4.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及运算规则,理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
必备知识温故知新
【教材梳理】
1.向量的有关概念
名称
定义
说明
向量
既有大小又有方向的量叫做向量
平面向量是自由向量
有向线段
具有方向的线段叫做有向线段,向量可以用有向线段表示,也可用字母a,b,c,?表示
有向线段包含三个要素:起点、方向、长度
向量的模
向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模),记作AB
向量的模是数量
零向量
长度为0的向量叫做零向量,记作0
—
单位向量
长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量
a是非零向量,则±a
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量
规定:零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
两向量可以相等也可以不相等,但不能比较大小
相反向量
与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-
0的相反向量仍是0
2.向量的线性运算
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律(性质)
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
交换律:a+b=b+a.并规定:a+0=0+a=
减法
求两个向量差的运算
a-
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
λa是一个向量,其长度:λa
其方向:当λ0时,与a的方向相同;当λ0时,与a的方向相反
设λ,μ∈
λμa=
λ+μa=
λa+b
3.向量共线定理
向量aa≠0与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b
常用结论
1.加法运算的推广
(1)加法运算的推广:A1
(2)向量三角不等式:a-b≤a±b
2.线性运算重要结论
(1)若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则OP=
(2)若G为△ABC的重心,则GA
(3)若OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),则点A,
(4)如图,△ABC中,BD=m,CD=n,则AD=nm+nAB
自主评价牛刀小试
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)相等向量的起点和终点分别相同. (×)
(2)a与b是否相等与a,b的方向无关. (√)
(3)零向量与任一向量平行. (√)
(4)若向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点共线. (×)
(5)当两个向量a,b共线时,一定有b=λaλ∈R,反之亦成立.
2.(教材题改编)下列说法正确的是(D)
A.单位向量都相等 B.若a//b
C.若a=b,则a=b D.
解:对于A,单位向量的模相等,但方向不一定相同,所以错误.
对于B,当a//b时,a与b不一定相等
对于C,当a=b时,不一定有a=b,因为a=b需a=b且a
对于D,a=λbb≠0,则a//
3.【多选题】(教材题改编)下列选项中,向量a,b一定共线的有(ABC)
A.a=2e,b=-
C.a=4e1-2
解:对于A,a=-
对于B,a=-
对于C,a=4b.故A,B,
对于D,若a=λb,e1,e2不共线,则1
故选ABC.
4.如图,正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=
A.0 B.BE C.AD D.CF
解:将CD平移到AF,EF平移到CB,故BA+CD+EF
核心考点精准突破
考点一平面向量的基本概念
例1【多选题】如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断正确的是(ABC)
A.AB=OC B.AB//DE
解:由正六边形的结构特征,知AB与OC方向相同,长度相等,所以AB=OC,故A
AB与DE方向相反,所以AB//DE,故B
由正六边形的性质,知AD=BE,故C
AD与FC不共线,所以不相等,故D错误.
故选ABC.
【点拨】准确理解向量的概念,请特别注意以下几点:①a//b,有a与b方向相同或相反两种情形.②向量的模与数的绝对值有所不同,如a=b?a=±b.③零向量的方向是任意的,并不是没有,零向量与任意向量平行.④对于任意非零向量a,aa是与a同向的单位向量,这也是求单位向量的方法.
变式1
(1)下列命题正确的是(B)
A.任一向量与它的相反向量都不相等
B.长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C.平行且模相等的两个向量是相等向量
D.若a≠b
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