1.1.1 空间向量及其线性运算（四种常考题型）（解析版）.docxVIP

1.1.1空间向量及其线性运算（四种常考题型）

知识点1空间向量的有关概念

1．空间向量的定义及表示

定义

在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量

长度或模

空间向量的大小叫做空间向量的长度或模

表示方法

几何表示法

空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模

符号表示法

若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或

2.几类特殊的空间向量

名称

方向

模

表示法

零向量

任意

0

记为

单位向量

1

或

相反向量

相反

相等

记为

共线向量

相同或相反

或

相等向量

相同

相等

或

知识点2空间向量的线性运算

1.空间向量的加减运算

加法运算

三角形法则

语言叙述

首尾顺次相接，首指向尾为和

图形叙述

平行四边形法则

语言叙述

共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和

图形叙述

减法运算

三角形法则

语言叙述

共起点，连终点，方向指向被减向量

图形叙述

2.空间向量的数乘运算

定义

与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘

几何意义

与向量的方向相同

的长度是的长度的倍

与向量的方向相反

，其方向是任意的

3.空间向量的运算律

交换律

结合律

，

分配律

知识点3共线向量与共面向量

1.直线的方向向量

定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量．

2．共线向量与共面向量的区别

共线(平行)向量

共面向量

定义

位置关系

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量

平行于同一个平面的向量叫做共面向量

特征

方向相同或相反

特例

零向量与任意向量平行

充要条件

共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使

共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使

对空间任一点O，

空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有

题型一 空间向量的有关概念

1．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（????）．

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】A

【分析】根据转化以及正方体的性质求出各组向量的夹角可得答案.

【详解】对于A，因为，结合正方体的性质可得与的夹角为，

所以与的夹角为，故A正确；

对于B，由与方向相反，结合A可知与的夹角为，故B不正确；

对于C，因为，结合正方体的性质与垂直，

所以与的夹角为，故C不正确；

对于D，因为，而与方向相反，

所以与的夹角为，故D不正确.

故选：A

2．（多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（????）

A．单位向量有8个

B．与相等的向量有3个

C．与的相反向量有4个

D．向量共面

【答案】ABC

【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得.

【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确；

与相等的向量有共3个，故B正确；

向量的相反向量有共4个，故C正确；

因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误.

故选：ABC.

3．下列命题中是假命题的是（?????）

A．任意向量与它的相反向量不相等

B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C．如果，则

D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

【答案】A

【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.

【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误；

对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；

对于C，如果，则，C正确；

对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.

故选：A.

4．在平行六面体中，与向量相等的向量共有（????）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】由图形及相等空间向量定义可得答案.

【详解】由图，与向量大小相等，方向相同的向量有共3个.

故选：C

5．如图，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：

（1）单位向量有__________________；

（2）模为的向量有_________个；

（3）与相等的向量有_________；

（4）的负向量有_________；

（5）化简结果的向量：_________，_________．

【答案】（1），，，，，，，8，，，，、（或）

【分析】根据向量的相关定义以及加减运算法则即可逐一求解.

【详解】根据相等向量，相反向量，以及向量的加减运算法则以及模长定义即可求解(1)(2)(3)(4).

,,

故答案为:，，，，，，，;8;，，;

，，、;（或）;

6．下列关于空间向量的说法中正确的是（????）

A．方向相反的两个向量是相反向