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第2讲:直线与平面,平面与平面的位置关系
【知识整合】
一、直线与平面的位置关系:
直线与平面平行:
直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行(即线线平行,则线面平行)
直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(即线面平行,则线线平行)
直线与平面垂直:
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。(即线线垂直,则线面垂直)
直线与平面垂直的性质定理:①如果两条直线垂直于一个平面,那么这两条直线平行;②如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线(即线面垂直,则线线垂直)
平面的斜线及直线与平面所成的角:
过一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面内的射影,这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角,范围是[0?,90?]。
三垂线定理:如果平面内的一条直线和一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直。
二、平面与平面的位置关系:
两平面平行:
两平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。(即线面平行,则面面平行)
两平面平行的性质:①如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面(即面面平行,则线面平行);②如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。(即面面平行,则线线平行)
二面角的大小:
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,范围是[0?,180?]。
两平面垂直:
两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。(即线面垂直,则面面垂直)
两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(即面面垂直,则线面垂直)
【典例精析】
空间四边形 ABCD中,若AB?AD? AC? CB? CD? BD,则AC 与BD所成角为 。
D1 C
D
1
1A如图长方体中,AB=AD=2 3,CC= 2,则二面角
1
A
1 B
1
C—BD—C的大小为( )
1 D
C
A B
已知空间四边形ABCD,P,Q分别是?ABC和?BCD的重心,求证PQ//平面ACD
E
正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE, F
BD上各取一点P,Q,且AP?DQ,求证PQ//平面BCE。
B
P C
Q
A D
如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,
PA?1,P在平面ABC内的射影为BF的中点O。证明
PA⊥BF
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB//DC,
AC?BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO?2,PO? 2,PB?PD.
(1)求异面直线PD与BC所成角的余弦值;
(2)设点M在棱PC上,且PM??,问?为何值时,
MC
PC?平面BMD。
在正方体ABCD?ABCD
中,M,N,P分别是
1 1 1 1
CC,BC,CD
1 1 1 1 1
的中点,求证:
(1)AP?MN
(2)平面MNP//平面ABD
1
在三棱锥S?ABC中,?ABC是等腰三角形,
AB?BC?2a,?ABC?120 , 且
SA?平面ABC,SA?3a,求点A到平面SBC的距离。
如图,四棱锥P?ABCD的底面是边长为a的正方形,PA?底面ABCD,E为AB的中点,且PA=AB。
求证平面PCE?平面PCD
求点D到平面PCE的距离。
如图,在正三棱柱ABC?ABC
中,AB? 2AA,
1 1 1 1
点D是AB的中点,点E在AC
上,且DE?AE。
1 1 1 1
求证,平面ADE?平面ACCA
1 1
求直线AD和平面ABC
1
所成角的正弦值。
【重点题型强化】
如图,三棱柱ABC?ABC中D是BC的中点,求证:AB//平面ACD
1 1 1 1 1
如图,在?ABC中,?ACB?90,D,E分别为AC,AB的
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