第05讲 空间向量基本定理（四大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义.doc

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第05讲空间向量基本定理

【题型归纳目录】

题型一：基底的判断

题型二：基底的运用

题型三：正交分解

题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

【知识点梳理】

知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解

空间向量基本定理：

如果空间中的三个向量SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10不共面，那么对空间中的任意一个向量SKIPIF10，存在唯一的有序实数组SKIPIF10，使得SKIPIF10.其中，空间中不共面的三个向量SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10组成的集合{SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10}，常称为空间向量的一组基底.此时，SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10都称为基向量；如果SKIPIF10，则称SKIPIF10为SKIPIF10在基底{SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10}下的分解式.

知识点2：空间向量的正交分解

单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用SKIPIF10表示.

正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

用已知向量表示某一向量的三个关键点：

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立

【典例例题】

题型一：基底的判断

例1．若SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是(????)

A．SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10 B．SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10

C．SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10 D．SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10

【答案】C

【解析】对于A选项，因为SKIPIF10，则SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10共面，A不满足条件；

对于B选项，因为SKIPIF10，则SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10共面，B不满足条件；

对于C选项，假设SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10共面，则存在SKIPIF10、SKIPIF10，使得SKIPIF10，

因为SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10构成空间的一组基底，则SKIPIF10，该方程组无解，假设不成立，故SKIPIF10、SKIPIF10、SKIPIF10不共面，

所以，SKIPIF10、SKIPIF10