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第
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第11讲直线与圆、圆与圆的位置关系
【题型归纳目录】
题型一:不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系
题型二:由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标
题型三:切线与切线长问题
题型四:弦长问题
题型五:判断圆与圆的位置关系
题型六:由圆的位置关系确定参数
题型七:公共弦与切点弦问题
题型八:公切线问题
题型九:圆中范围与最值问题
题型十:圆系问题
【知识点梳理】
知识点一:直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系:
(1)直线与圆相交,有两个公共点;
(2)直线与圆相切,只有一个公共点;
(3)直线与圆相离,没有公共点.
2、直线与圆的位置关系的判定:
(1)代数法:
判断直线SKIPIF10与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解,直线SKIPIF10与圆C有公共点.
有两组实数解时,直线SKIPIF10与圆C相交;
有一组实数解时,直线SKIPIF10与圆C相切;
无实数解时,直线SKIPIF10与圆C相离.
(2)几何法:
由圆C的圆心到直线SKIPIF10的距离SKIPIF10与圆的半径SKIPIF10的关系判断:
当SKIPIF10时,直线SKIPIF10与圆C相交;
当SKIPIF10时,直线SKIPIF10与圆C相切;
当SKIPIF10时,直线SKIPIF10与圆C相离.
知识点诠释:
(1)当直线和圆相切时,求切线方程,一般要用到圆心到直线的距离等于半径,记住常见切线方程,可提高解题速度;求切线长,一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形,由勾股定理解得.
(2)当直线和圆相交时,有关弦长的问题,要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形,也是通过勾股定理解得,有时还用到垂径定理.
(3)当直线和圆相离时,常讨论圆上的点到直线的距离问题,通常画图,利用数形结合来解决.
知识点二:圆的切线方程的求法
1、点SKIPIF10在圆上,如图.
法一:利用切线的斜率SKIPIF10与圆心和该点连线的斜率SKIPIF10
的乘积等于SKIPIF10,即SKIPIF10.
法二:圆心SKIPIF10到直线SKIPIF10的距离等于半径SKIPIF10.
2、点SKIPIF10在圆外,则设切线方程:SKIPIF10,变成一般式:SKIPIF10,因为与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,解出SKIPIF10.
知识点诠释:
因为此时点在圆外,所以切线一定有两条,即方程一般是两个根,若方程只有一个根,则还有一条切线的斜率不存在,务必要把这条切线补上.
常见圆的切线方程:
(1)过圆SKIPIF10上一点SKIPIF10的切线方程是SKIPIF10;
(2)过圆SKIPIF10上一点SKIPIF10的切线方程是
SKIPIF10.
知识点三:求直线被圆截得的弦长的方法
1、应用圆中直角三角形:半径SKIPIF10,圆心到直线的距离SKIPIF10,弦长SKIPIF10具有的关系SKIPIF10,这也是求弦长最常用的方法.
2、利用交点坐标:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长.
知识点四:圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系:
(1)圆与圆相交,有两个公共点;
(2)圆与圆相切(内切或外切),有一个公共点;
(3)圆与圆相离(内含或外离),没有公共点.
2、圆与圆的位置关系的判定:
(1)代数法:
判断两圆的方程组成的方程组是否有解.
有两组不同的实数解时,两圆相交;
有一组实数解时,两圆相切;
方程组无解时,两圆相离.
(2)几何法:
设SKIPIF10
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