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第
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第10讲圆的方程
【题型归纳目录】
题型一:圆的标准方程
题型二:圆的一般方程
题型三:点与圆的位置关系
题型四:二元二次曲线与圆的关系
题型五:圆过定点问题
题型六:轨迹问题
【知识点梳理】
知识点一:圆的标准方程
SKIPIF10,其中SKIPIF10为圆心,SKIPIF10为半径.
知识点诠释:
(1)如果圆心在坐标原点,这时SKIPIF10,圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化:如:圆心在x轴上:SKIPIF10;圆与y轴相切时:SKIPIF10;圆与x轴相切时:SKIPIF10;与坐标轴相切时:SKIPIF10;过原点:SKIPIF10
(2)圆的标准方程SKIPIF10圆心为SKIPIF10,半径为SKIPIF10,它显现了圆的几何特点.
(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知,确定一个圆的方程,只需要a、b、r这三个独立参数,因此,求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
知识点二:点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为SKIPIF10,圆心为SKIPIF10,半径为SKIPIF10,则有
(1)若点SKIPIF10在圆上SKIPIF10
(2)若点SKIPIF10在圆外SKIPIF10
(3)若点SKIPIF10在圆内SKIPIF10
知识点三:圆的一般方程
当SKIPIF10时,方程SKIPIF10叫做圆的一般方程.SKIPIF10为圆心,SKIPIF10为半径.
知识点诠释:
由方程SKIPIF10得SKIPIF10
(1)当SKIPIF10时,方程只有实数解SKIPIF10.它表示一个点.
(2)当SKIPIF10时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
(3)当SKIPIF10时,可以看出方程表示以SKIPIF10为圆心,SKIPIF10为半径的圆.
知识点四:用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程.
(2)根据已知条件,建立关于SKIPIF10或SKIPIF10的方程组.
(3)解方程组,求出SKIPIF10或SKIPIF10的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
知识点五:轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标法”将其转化为关于变量SKIPIF10之间的方程.
1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时,常采用直接法;当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时,常采用定义法;当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时,可采用代入法(或称相关点法).
2、求轨迹方程时,一要区分“轨迹”与“轨迹方程”;二要注意检验,去掉不合题设条件的点或线等.
3、求轨迹方程的步骤:
(1)建立适当的直角坐标系,用SKIPIF10表示轨迹(曲线)上任一点SKIPIF10的坐标;
(2)列出关于SKIPIF10的方程;
(3)把方程化为最简形式;
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点);
(5)作答.
【典例例题】
题型一:圆的标准方程
例1.圆SKIPIF10关于直线SKIPIF10对称的圆是(????)
A.SKIPIF10 B.SKIPIF10
C.SKIPIF10 D.SK
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