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2023—2024学年度第二学期0330第一次质量检测试题
高一年级数学
一?单选题(共40分)
1.已知,则等于()
A.10 B. C.3 D.
2.如图,已知是的边上的中线,若,,则等于()
A. B. C. D.
3.设是两个单位向量,且,那么它们的夹角等于(????)
A. B. C. D.
4.已知向量,不共线,则下列向量不可以作为一组基底的是(????)
A.和 B.和
C.和 D.和
5.已知向量,不共线,向量,,且,则(????)
A.-3 B.3 C.-6 D.6
6.在中,若,且,那么一定是(????)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
7.如图在边长为1的正方形组成的网格中,平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住,则=(????)
A.10 B.11 C.12 D.13
8.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家,他在著作《数书九章》中提出,已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”,其公式为:.若,,,则利用“三斜求积术”求的面积为(????)
A. B. C. D.
二?多选题(共18分)
9.下列说法不正确的是(????)
A.若,则与的方向相同或者相反
B.若,为非零向量,且,则与共线
C.若,则存在唯一的实数使得
D.若是两个单位向量,且,则
10.在平面直角坐标系中,已知点,,,则(????)
A.
B.与的夹角为
C.在方向上的投影向量的坐标为
D.与垂直的单位向量的坐标为或
11.已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,下面四个结论正确的是(???)
A.若,则为等腰三角形
B.在锐角中,不等式恒成立
C.若,,且有两解,则b的取值范围是
D.若,的平分线交于点D,,则的最小值为9
三?填空题(共15分)
12.设平面向量,点,则点B的坐标为.
13.已知,向量,则的最大值为.
14.在中,,,则外接圆半径为.
四?解答题(共77分)
15.已知向量.
(1)若,求的坐标;
(2)若,求与的夹角.
16.如图,在中,,E是AD的中点,设,.
??
(1)试用,表示,;
(2)若,与的夹角为,求.
17.的内角,,的对边分别为,,,已知,.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
18.在中,内角,,的对边分别为,,,.
(1)若,证明:;
(2)若,求周长的最大值.
19.如图,在中,点在边上,.
(1)若,求;
(2)若是锐角三角形,,求的取值范围.
1.B
【分析】根据题意,利用向量的数量积的坐标运算公式,准确计算即可求解.
【详解】由向量,可得,
所以.
故选:B.
2.C
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为是的边上的中线,
所以,所以
.
故选:C
3.C
【分析】由向量的模的平方结合单位向量的定义可得,由此即可得解.
【详解】由题意是两个单位向量,且,
所以,解得,
由,所以.
故选:C.
4.B
【分析】判断两向量是否为非零的不共线向量,若是可作为基底,若不是则不可以作为一组基底.
【详解】A选项,设,则,无解,故和是不共线的向量,可作为一组基底,A错误;
B选项,∵,
∴和共线,不能作为一组基底,故B正确;
C选项,设,则,无解,故和不共线,故可作为一组基底,C错误;
D选项,设,则,无解,和不共线,可作为一组基底,D错误..
故选:B
5.D
【分析】设,从而得到,得到方程,求出的值.
【详解】设,则,
故.
故选:D
6.D
【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得,即,又由化简可得,得,从而得解.
【详解】因为,则,
因为,则,所以,则,
又因为,,则,
则,即,
即,又因为,则,
所以,即.
即一定是等边三角形,故D正确.
故选:D.
7.B
【分析】以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(4,1),C(6,4),
=(4,1),=(2,3),
=4×2+1×3=11,
故选:B.
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算,考查了基本运算能力,属于基础题.
8.D
【分析】由余弦定理得,又,代入面积公式计算即可.
【详解】因为,,
所以,
则,
故选:D.
9.ACD
【分析】利用零向量与任意向量平行可判定A,利用共线向量的定义可判定B,利用共线向量的充要条件可判定C,利用平面向量的数量积与模长关系可判定D.
【详解】对A,若为零向量时,与的方向不确定,故A错误;
对B,分别表示,方向上的单位向量,根据题意可知B正确;
对C,若为零向量,不为零向量时,不存在实数使得,故C错误;
对D,由,
所以,故D错误.
故选:AC
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