高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)6.2.1向量的加法运算(讲义+例题+小练)(原卷版+解析).docxVIP

6.2.1向量的加法运算

向量加法的定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

向量加法的三角形法则

作法：

作法：

已知向量、,在平面上任取一点A,作,,作向量,则向量叫做向量与的和(或和向量),记作+,即.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.

C

C

A

A

A

A

a+b

bab

b

a

b

a

a

B

B

注：两个向量的和仍然是一个向量

三角形法则规律：

作平移,首尾连，由起点指终点

例1．如图，已知向量，，求作向量．（用三角形法则）

举一反三

1．如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．

2．如图，已知向量，，不共线，作向量++．

向量加法的平行四边形法则

已知向量、,在平面上任取一点A,作,,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量=+=+.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.

C

C

+

O

A

B

注：作平移,共起点,四边形,对角线

例2．如图，已知向量，，求作向量．

举一反三

1．请用平行四边形法则作出，

.

2．设向量表示“向东走3nmile”，向量表示“向北偏东30°走3nmile”，则表示什么？

三、共线向量的加法

AB

A

B

C

=+

AB

A

B

C

=－

和向量的长度等于用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。

例3.如图，已知向量，，求作向量．

举一反三

如图①所示，求作向量；

四、向量加法的多边形法则

将n个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量。即为这n个向量的和向量。

注：若平面内有n个首尾相接的向量,构成一个封闭图形,那么这n个向量的和是

例4．（1）如图（1），在中，计算；

（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；

（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.

举一反三

如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：

(1)；

(2)

(3)．

五、向量加法的交换律和结合律

1、交换律：+=+，如图，由三角形法则可知向量的加法满足交换律。

++ABCD2、结合律：如图：（+）+=，+（+）=，所以（+）+=+（+）

++

A

B

C

D

++由上图还可知，++=++=，可见将三个向量首尾相加，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点，多个向量相加，同理可得结果。

+

+

可见，三角形法则不仅适用于两个向量相加，同样用于多个向量相加，同时也说明三角形法则的实质是首尾相接，而不是一定表示向量的有向线段要构成三角形。

例5．化简下列各式：

(1)；

(2)；

(3)．

举一反三

化简（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）.

拓展创新

例7、如图:

(1)以A为始点,作出;

(2)以B为始点,作出;

(3)假设为单位向量,写出,和.

巩固提升

一、单选题

1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于（）

A． B．

C． D．0

2．在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（）

A． B． C．12 D．6

3．如图所示的方格纸中有定点O、P、Q、E、F、G、H，则（）

A． B． C． D．

4．已知向量，且，则向量的方向（）

A．与向量的方向相同 B．与向量的方向相反

C．与向量的方向相同 D．不确定

二、多选题

5．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（）

A． B．

C． D．

6．（多选）下列结论中错误的是（）

A．两个向量的和仍是一个向量

B．向量与的和是以的始点为始点，以的终点为终点的向量

C．

D．向量与都是单位向量，则

三、填空题

7．两个大小相等的共点力与，若当它们的夹角为时合力大小为，则当它们的夹角为时合力大小为______．

8．下列命题中正确的是______．

①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；

②单位向量一定是相等向量；

③相反向量一定不相等；

④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是，

⑤模为0的向量方向是不确定的．

四、解答题

9．如图，已知和点P，请以点P为起点，分别在图中作出下列向量：

(1)与相等的向量；

(2)与互为相反向量的向量.

10．如图，已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：

6.2.1向量的加法运算

向量加法的定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

向量加法的三角形法则

作法：

作法：

已知向量、,在平面上任取一点A,作,,作向量,则向量叫做向量与的和(或和向量),记作+,即.这种求