高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)6.3平面向量的基本定理及坐标表示(讲义+例题+小练)(原卷版+解析).docxVIP

6.3平面向量的基本定理及坐标表示

一、平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，且表达式唯一；反之，是对向量的合成.

例1．已知和不共线，，并且共线，则下列各式正确的是（）

A． B． C． D．

举一反三

1．如图所示，在矩形中，，则等于（）

A． B． C． D．

2．在梯形ABCD中，AB//CD且AB=3CD，点P在边BC上，若，则实数（）

A． B． C． D．

3.如图，点E、D分别是中AC（靠近C）、BC（靠近B）边上的三等分点，已知，，试用、表示．

二、向量的正交分解及坐标表示

当时，就说为对向量的正交分解

坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.

结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

例2.（1）已知?分别是方向与x轴正方向?y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

(2)．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B?C?D的坐标分别是（-1，3）?（3，4）?（2，2），

(1)求向量BC；

(2)求顶点A的坐标.

举一反三

1．已知点，，则___________.

2．已知，则下列说法不正确的是（多选）（）

A．点的坐标是

B．点的坐标是

C．当是原点时，点的坐标是

D．当是原点时，点的坐标是

平面向量加减运算的坐标表示

设，，则

向量的加减法运算：，.

例3.(1)已知，，那么=（）

A．（2，2） B．（3，0） C．（4，1） D．（3，2）

（2）渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度大小为，水流由西向东，速度的大小为设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头A的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应（）

A．在东侧 B．在西侧 C．恰好与重合 D．无法确定

举一反三

1．已知向量，那么（）

A． B． C． D．

2．设，，则（）.

A． B． C． D．

平面向量数乘运算的坐标表示

实数与向量的积：.

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0.

例4.若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝（）

A．13 B．－13

C．9 D．－9

举一反三

1.已知平面向量，，若，则___________.

2．设两个非零向量与不共线．

(1)若，，，判断A，B，D三点是否共线？

(2)试确定实数，使和同向．

平面向量数量积的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

例5.（1）已知A(1，2)，B(3，－1)，C(3，4)，则等于（）

A．11 B．5

C．－1 D．－2

（2）．已知向量、的夹角为，且，，则（）

A．1 B．2 C．3 D．4

(3)．已知，.

(1)若，求的坐标；

(2)若，求与的夹角.

举一反三

1．已知向量，，若，则（）

A． B．

C． D．

2．中，，，过点A作边BC的垂线，垂足为H，若，则（）

A．10 B．12 C．－10 D．－12

3．已知，，若，则______.

4．已知平面向量、满足，，则______________

六、用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型

所用知识

公式表示

线平行、点共线等问题

共线向量定理

a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0，

其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

垂直问题

数量积的运算性质

a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量

夹角问题

数量积的定义