5函数逼近与曲线拟合.ppt

5函数逼近与曲线拟合

（FunctioapproximationandCurvefitting）?本章主要内容5.1函数逼近的概念5.2正交多项式5.3最佳均方逼近5.4最小二乘法?重点：最佳均方逼近、最小二乘法?难点：正交多项式5.1函数逼近的概念5.1函数逼近的概念4.2拉格朗日(Lagrang)插值----Ln(x)拉格朗日插值函数均可表示为一组基函数与函数值的线性组合，这些基函数与被插函数无关，只需用插值基点有来构造。4.2.1拉格朗日线性插值L1(x)?线性插值基函数及几何意义线性拉格朗日插值基函数。它们都是线性函数，且具有性质：其几何意义见图示。4.2.2拉格朗日二次(抛物)插值L2(x)?抛物插值及几何意义插值基点：x0，x1，x2（互异）插值函数：二次多项式（抛物线）插值条件：L2(xi)=yi,i=0,1,2.4.2.2拉格朗日二次(抛物)插值L2(x)?拉格朗日抛物插值公式由抛物插值基函数的性质和插值函数的唯一性，得4.2.3n次拉格朗日插值?问题描述插值基点：x0，x1，…，xn（n+1个点互异）插值函数：不超过n次的多项式插值条件：Ln(xi)=yi,i=0,1,2,…,n4.2.3n次拉格朗日插值?拉格朗日插值余项估计4.3牛顿(Newton)插值----Nn(x)4.3.1问题与策略?问题由于拉格朗日公式具有“对称性”，但不具备“承袭性”，即插值基点个数改变后所有基函数都改变。4.3.2均差及其计算?均差定义4-54.3.2均差及其计算?均差表4.3.3牛顿插值公式及余项4.4埃尔米特(Hermite)插值4.4.1埃尔米特插值的引入4.4埃尔米特(Hermite)插值4.4.1埃尔米特插值的引入**5.1.1函数的内积?函数插值的必要性使复杂函数简单化使无解析式的函数（离散型、图形图像）获得解析式为其他数值方法提供支持手段（如数值积分、微分）?插值问题定义4-15.1.2一致逼近与最佳均方逼近?代数多项式插值问题由于多项式有其优良的特性，所以通常都是用多项式作为插值函数。还有其它类型的插值函数，如有理函数插值、三角函数插值等?函数插值涉及的基本问题插值函数的存在唯一性问题插值函数的构造问题截断误差估计与收敛性问题数值稳定性问题5.1.3法方程定义4-4设pn(x)是函数f(x)的n次插值多项式,其截断误差又称插值余项记为Rn(x)=f(x)-pn(x)定理4-2（插值余项定理）设函数f(x)在包含插值基点及插值点x的区间[a,b]上连续，在(a,b)上具有n+1阶导数，则必存在依赖于x的点，使其中：推论：当f(x)是次数不超过次的多项式时，pn(x)=f(x)。4.1.3插值多项式的误差估计?最大值估计?事后估计4.2.1拉格朗日线性插值L1(x)?线性插值及几何意义n=1时的n次多项式p1(x)称为线性插值。此时，有两个互异的插值基点:x0，x1，插值条件为:p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。其几何意义就是用过点(x0,y0)和(x1,y1)的直线y=p1(x)代替y=f(x)。?拉格朗日线性插值函数L1(x)由两点式直线公式，整理可得?插值余项例4-1证明：例4-1已知ln10=2.303,ln11=2.398,求ln10.5并估计误差。?抛物插值基函数及几何意义要求基函数l0(x)，l1(X)，l2(x)均为不超过2次的多项式，且满足：不难得到：其几何意义是明显的。?拉格朗日抛物插值公式的截断误差例4-3利用9,16,25的平方根求17和5的平方根的近似值。注意：外插与内插的误差比较。?基函数?拉格朗日插值公式?拉格朗日插值的特点：基函数整齐、对称,与被插函数无关,均为不超过n次的多项式插值函数被表示为基函数与函数值的线性组合不便于增加插值基点，因