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2024年重庆2024届10月月考
数学试题卷
留意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答时,务必将答案写在答题卡上.写在试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一、单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.)
1.已知集合,,则().
A. B. C. D.
2.在等差数列中,则数列的前11项的和().
A.8 B.16 C.22 D.44
3.“”是“与的夹角为锐角”的()条件.
A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要
4.已知函数的最小值为,则().
A.0 B. C.1 D.
5.埃拉托斯特尼是古希腊的地理学家,他最出名的工作是计算了地球(大圆)的周长.如图,在赛伊尼城,夏至那天中午的太阳正好在竖直天顶方向(这是从阳光直射进该处一井内而得到证明的).同时,在与赛伊尼处于同一子午线(大圆)上的亚历山大城,其竖直天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2°.因太阳距离地球很远,故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里得知两个城市间的距离也许是5000斯塔蒂亚(1斯塔蒂亚≈158米),则埃拉托斯特尼测得地球的周长约为().
A.39000千米 B.39500千米 C.40000千米 D.40500千米
6.在平面直角坐标系中,拋物线的焦点为F,准线为l.过拋物线上一点P作,垂足为A点,若直线AF的倾斜角为30°,则△PAF的面积为().
A. B. C.4 D.6
7.已知数列是公差不为0的等差数列,为等比数列,且,,,记,则数列的前10项的和为().
A.1068 B.1078 C.556 D.566
8.已知函数的图像上一个最低点为A,离A最近的两个最高点分别为B与C,则().
A. B. C. D.
二、多项选择题,(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.)
9.关于函数,下列说法正确的是().
A.,使为偶函数 B.,都有零点
C.当时,恰有2个增区间 D.当时,恰有1个增区间
10.关于复数(i为虚数单位),下列说法正确的是().
A. B.为纯虚数
C.为实数 D.在复平面上对应的点在其次象限
11.已知向量,,函数,则().
A.存在锐角x,使得 B.存在锐角x,使得
C.当时, D.当时,
12.已知直线与双曲线C:(,)的右支交于M,N两点,点M在第一象限,若点Q满足且,其中O为坐标原点,则下列说法正确的有().
A. B.直线QN的斜率为
C.双曲线的离心率为 D.双曲线的渐近线为
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)
13.△ABC内角A,B,C的对边分别记为a,b,c,若,,,则________.
14.在△ABC中,D为AB的中点,,记,则________.
15.将函数图像上每个点的横坐标和纵坐标均变为原来的倍,得到函数的图像,则函数的最大值为________.
16.由2024个数字8形成的2024位正整数记为,类似的记,若,则整数c的各个数位上的数字之和为________.
四、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)2024年6月,沙坪坝区磁器口古镇提档升级完工,进一步呈现了“古镇会客厅.巴渝新风情”的面貌.为更好的提升旅游品质,随机选择若干名游客对景区进行满足度评分(满分100分),得到如图所示的样本频率分布直方图.
(1)用每组的中点值代表该组数据,求样本平均值;
(2)若游客的评分X近似听从于正态分布,其中,求.
参考数据:若,则,,.
18.(12分)设△ABC内角A,B,C的对边分别记为a,b,c,且.
(1)求内角A的值;
(2)若△ABC的面积为2,D是AB的中点且,求△ABC中最长边的长度.
19.(12分)已知等比数列满足,且对随意正整数k均有.数列满足:,且________.先从下面三个条件中选一个填在前面划线处,再解决后面两个问题.
条件①:数列的前n项和为;
条件②:数列的前n项和为;
条件③:.
(注:若选择多个条件分别作答,按第一个解答计分)
问题(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在正整数k,使得对随意恒成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
20.(12分)已知函数(其中)在区间上单调递减.
(1)求出的取值范围;
(2)将的图像向左平移个单位就得到函数的图像,记,.若恰为偶函数,求数列前n项和的表达式.
21.(12分)已知存在实数a,b,c和实数,,,使得对于随意都有函数.
(1)若,求的值;
(2)当且时,若实数m,n使得对随意恒成立,求的最值.
22.(
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