2024年高中数学新高二暑期培优讲义第02讲 立体几何中的角度、体积、距离问题（教师版）.doc

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第02讲立体几何中的角度、体积、距离问题

【题型归纳目录】

题型一：异面直线所成的角

题型二：线面角

题型三：二面角

题型四：距离问题

题型五：体积问题

【知识点梳理】

知识点1、求点线、点面、线面距离的方法

(1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)．

(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．

(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．

②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．

③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．

知识点2、异面直线所成角的常用方法

求异面直线所成角的一般步骤：

(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

(3)结论——设(2)所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．

知识点3、直线与平面所成角的常用方法

求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤

(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；

(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；

(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．

知识点4、作二面角的三种常用方法

(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．

(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．

(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．

知识点5、求体积的常用方法

选择合适的底面，再利用体积公式求解．

【典例例题】

题型一：异面直线所成的角

例1．如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为(????)

??

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取的中点，连接，所以，直线与所成角即为直线与所成的，所以，，，

在中由余弦定理可得,

因为，所以.故选：C.

题型二：线面角

例2．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【解析】(1)连接，交于点，连接，

四边形为菱形，为中点，又为中点，，

平面，平面，平面.

(2)取中点，连接，

，，为等边三角形，又为中点，；

平面，平面，，

，平面，平面，

即为直线与平面所成角，

，，

又，，，

即直线与平面所成角的正弦值为.

题型三：二面角

例3．如图，在四棱锥中，底面是菱形．

??

(1)若点E是PD的中点，证明：平面；

(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．

【解析】(1)连接交于M，连接，

因为底面是菱形，所以M为的中点，

又点E是PD的中点，故为的中位线，

故，而平面，平面，故平面；

(2)设为的中点，连接，因为，故,

因为平面平面，且平面平面，

平面，所以平面，而平面，故，

底面是菱形，故，作交于N，

则，且N为的中点，

连接，因为平面，

故平面，则即为二面角的平面角，

设，则,，则，则，

由于为的中点，N为的中点，故，

而平面，平面，故，

所以，即二面角的正切值为2.

例4．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．

??

(1)求证：平面；

(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；

(3)求二面角的正弦值．

【解析】(1)取的中点，连接，因为点为的中点，所以，

又，所以，所以四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，所以平面；

(2)四边形为菱形，，

，为等边三角形，，

在中，是中点，，

平面，平面，，

，平面，平面，平面，

斜线在平面内的射影为，即是与平面所成角的平面角，

平面，平面，，

在中，，在中，，

平面，平面，，

在中，，与平面所成角的正切值为．

(3)在平面中，过点作，垂足为，连结，

?平面，平面，，

，平面，

平面，又平面，

是二面角的平面角，

在中，，，，

在中，，，，在中，，

由余弦定理得，

二面角的正弦值为．

题型四：距离问题

例5．在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．

(1)证明：平面平面PBC；

(2)求点C到平面PAB的距离．

【解析】(1)证明：取