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第四章三角函数
第1课时三角函数的基本概念
编写:廖云波
【回归教材】
1.角的概念
(1)任意角:①定义:角可以看成平面内绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的;
②分类:角按旋转方向分为、和.
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.
2.象限角
第一象限角的集合为;
第二象限角的集合为;
第三象限角的集合为;
第四象限角的集合为.
3.弧度制
(1)定义:把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.
正角的弧度数是一个,负角的弧度数是一个,零角的弧度数是.
(2)角度制和弧度制的互化:180°=rad,1°=eq\f(π,180)rad,1rad=.
(3)扇形的弧长公式:l=,扇形的面积公式:S==.
4.任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,则sinα=,cosα=,tanα=(x≠0).
三个三角函数的性质如下表:
三角函数
定义域
一象限符号
二象限符号
三象限符号
四象限符号
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α≠kπ+eq\f(π,2),k∈Z}
【典例讲练】
题型一角的有关概念
【例1-1】在与495°角终边相同的角中,用弧度制表示满足下列条件的角.
(1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)在区间内的角.
【例1-2】将下列角度化为弧度,弧度转化为角度
(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【例1-3】设是第四象限的角.
(1)试讨论是哪个象限的角;(2)写出的范围(选讲);(3)写出的范围.
【例1-4】用弧度制表示顶点在原点,始边重合于轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界,如图所示).
归纳总结:
【练习1-1】把表示成,的形式,则的值可以是(???????)
A. B. C. D.
【练习1-2】已知集合,,则(???????)
A.B.C. D.
题型二三角函数的定义
【例2-1】已知角α的终边与单位圆的交点为P,则=______.
【例2-2】已知是角终边上一点,且,则的值是(???????)
A. B. C. D.
归纳总结:
【练习2-1】已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则(???????)
A. B. C. D.
【练习2-2】已知角的终边经过点,且,则(???????)
A. B. C. D.
题型三利用三角函数的定义解三角不等式
【例3-1】集合A=[0,2π],B={|sincos},则A∩B=_______.
【例3-2】利用单位圆中的三角函数线,分别确定角的取值范围.
(1);(2).
归纳总结:
【练习3-1】设,则的大小关系为(???????)
A. B. C. D.
【练习3-2】求下列函数的定义域:
(1);(2).
题型四弧度制的应用
【例4-1】已知扇形的圆心角是,半径是,弧长为.
(1)若,求扇形的面积;
(2)若扇形的周长为,求扇形面积的最大值,并求此时扇形圆心角的弧度数.
【例4-2】已知半径为6的圆中,弦的长为6.
(1)求弦所对圆心角的大小;(2)求圆心角所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积
【例4-3】如图,扇环ABCD中,弧,弧,,则扇环ABCD的面积__________.
归纳总结:
【练习4-1】已知一扇形的圆心角为,周长为C,面积为S,所在圆的半径为r.
(1)若,cm,求扇形的弧长;(2)若cm,求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角.
【练习4-2】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”现有一类似问题,不确定大小的圆柱形木材,部分埋在墙壁中,其截面如图所示.用锯去锯这木材,若锯口深,锯道,则图中与弦围成的弓形的面积为(???????)
A. B. C. D.
【练习4-3】已知圆锥的表面积为,其侧面展开扇形的圆心角大小为,则这个圆锥的底面半径为______.
【完成课时作
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