重庆市鲁能巴蜀中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题.docxVIP

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重庆市鲁能巴蜀中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．梯形的直观图是（）

A．梯形 B．矩形 C．三角形 D．任意四边形

2．已知复数，是的共轭复数，则（????）

A．0 B． C．1 D．2

3．在中，是角分别所对的边，，则一定是（????）

A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形

4．已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（????）

A．若，，则

B．若，，且，则

C．若，，，，则

D．若，，，则

5．在长方体中，，，与平面所成的角为，则直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

6．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（????）

A．－1 B．1 C．－3 D．3

7．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(????)

A．1 B．3 C．2 D．4

8．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数，是方程的两根，则（????）

A． B．

C． D．

10．如图所示，在中，、是边上两点，连接、，若，、、的外接圆直径分别为、、，则下列不等式成立的是（????）

??

A． B．

C． D．

11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（????）

??

A．当E点运动时，总成立

B．当E向运动时，二面角逐渐变小

C．二面角的最小值为45°

D．在方向上的投影向量为

三、填空题

12．若一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的三分之一，则该球的体积等于.

13．在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值.

14．已知等腰直角的斜边长为2，其所在平面上两动点满足，若，则的最大值为.

四、解答题

15．在中，角所对的边为，已知.

(1)求；

(2)若，，求的周长.

16．在长方体中，，是的中点.

(1)证明：平面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

17．已知在中，，在线段上，且.

(1)若是的中点，求面积的最大值；

(2)若，求面积的最小值.

18．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且平面，垂足在线段（不含端点）上，点在棱上，，平面与棱交于点.

(1)证明：；

(2)若，；

①求四棱锥的体积；

②求二面角的余弦值.

19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.

(1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)如图，现已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，顶点在底面的射影为的中点.

①若，求该四棱锥在处的离散曲率；

②若该四棱锥在处的离散曲率，求直线与平面所成角的正弦值.

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参考答案：

1．A

【分析】根据斜二测画法判断即可.

【详解】直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，故梯形的直观图仍是梯形.

故选：A

2．B

【分析】利用复数的除法可求，进而可求.

【详解】∵，

所以.

故选：B．

3．D

【分析】利用余弦定理可得，结合可得答案.

【详解】因为，

所以，由余弦定理有，

整理得，即，为等腰三角形，

又，所以为等边三角形.

故选：D

4．B

【分析】利用空间线面、面面平行与垂直的判定定理分别去判断各个选项，即可判断出正误.

【详解】解：对于选项，若，，则与可以平行，相交，或为异面直线，因此不正确；

对于选项，若，且，则，因此正确；

对于选项，若，，，，则与不一定平行，因此不正确；

对于选项，若，，，则与不一定垂直，因此不正确.

综上，正确的命题是B.

故选：B.

【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握