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山西省大同市第一中学校、忻州市第一中学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知向量，，若，则（????）

A． B． C． D．

3．某制造企业有两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（????）

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8

4．若，则的值为（????）

A． B． C． D．

5．已知圆柱的母线长比底面半径长多2cm，表面积为24πcm2，则该圆柱的体积为（????）

A．12π B．14π C．16π D．18π

6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征.则函数在区间上的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

7．已知由5个数据组成的一组数据的平均数为4，方差为1，现再加入一个数据10，组成一组新的数据，则这组新数据的方差为（????）

A． B． C． D．7

8．已知（其中），若方程在区间上恰有4个实根，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走akm到达C处，这时他离出发点A的距离为km，那么的值可以是（????）

??

A．1 B． C． D．2

10．下列结论中正确的是（????）

A．已知向量，，，则

B．已知直线l⊥平面α，直线m//平面α，则l⊥m

C．一组数据13，8，10，6，9，15，5，的60%分位数为9

D．已知随机事件A和B互斥，若，，则

11．如图，在长方体中，，为的中点，为棱上任意一点，直线与棱交于点.则下列结论正确的是（????）

A．四边形是平行四边形

B．当为的中点时，四边形是菱形

C．四边形的周长的最小值为9

D．四棱锥的体积为4

三、填空题

12．已知，则的虚部为.

13．若正实数a，b满足，则的最小值是.

14．已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围为.

四、解答题

15．已知复数是一元二次方程（，）的根.

(1)求的值；

(2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模.

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.

(1)求角A；

(2)若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积.

17．当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；

(3)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率.

18．如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

19．如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为菱形，，.

(1)求锐二面角的大小；

(2)求AP与平面所成的角的正弦值.

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参考答案：

1．A

【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解即得.

【详解】依题意，，，

所以.

故选：A

2．C

【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案.

【详解】已知向量，，

若，则，

解得.

故选：C.

3．D

【分析】先根据独立事件的概率公式求出一天内这两台设备没有一台正常运行的概率，再根据对立事件的概率公式可求得结果.

【详