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2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一(下)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若z=3+4i1?2i,则|z|=(????)
A.3 B.3 C.5
2.已知向量a=(m,1),b=(1,2?3m),若a⊥b,则实数m
A.--1 B.1 C.?2 D.2
3.已知cosα=45,α∈(?π2,0),tanβ=
A.?25 B.?1011 C.
4.已知圆锥的母线长为2,轴截面为等边三角形,则该圆锥的表面积为(????)
A.3π B.2π C.π
5.在某城市正东方向200km处有一台风中心,它正向西北方向移动,移动速度的大小为20km/?,距离台风中心150km以内的地区都将受到影响,若台风中心的这种移动趋势不变,大约几小时后该城市所在地开始受到影响(参考数据:2≈1.4)(????)
A.2 B.4.5 C.9.5 D.10
6.从甲、乙2名男生,丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛,A表示事件“甲被选中参加比赛”,B表示事件“乙没被选中参加比赛”,C表示事件“被选中的两个人性别相同”,则(????)
A.A与B互斥 B.A与B独立 C.A与C互斥 D.A与C独立
7.在如图所示的几何体中,底面ABCD是边长为2的正方形,AA1,BG,CC1,DD1均与底面ABCD垂直,且AA1=CC1=DD1=2BG=23
A.715V B.722V C.
8.已知点P为△ABC内一点,且∠ABP=30°,∠PBC=15°,∠PCB=15°,∠PCA=60°,则∠PAC的正切值为(????)
A.6?33 B.2?3 C.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的说法正确的是(????)
A.若z2=?1,则z=i.
B.|z2|=|z|2
C.|z
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(4SABC=
A.B=π3
B.cosA?cosC的取值范围是(?14,14]
C.若D为边AC的中点,且BD=3,则△ABC面积的最大值为3
11.正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构),是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3(如图),则下列说法正确的是(????)
A.AC⊥DE
B.直线BC与平面BEDF所成的角为60°
C.若点P为棱EB上的动点,则三棱锥F?ADP的体积为定值924
D.若点P为棱ED上的动点,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知向量a=(1,2),向量b=(3,?1),则a在b上的投影向量的坐标为______.
13.如图,平面四边形ABCD中,∠BAD=∠CBD=75°,∠BAC=30°,∠ABD=45°,AB=6,则CD的长为______.
14.已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=2,∠ACB=60°,SC为球O的直径,且SC=4,则三棱锥S?ABC体积的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题17分)
如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是边长为3的菱形,且∠DAB=60°,AC交BD于点O,PB=PD=3,PA⊥PC,M,N分别为PA,BC的中点.
(1)求证:MN/?/平面PCD.
(2)记二面角B?PC?D的平面角为θ,若cosθ=?17.
①求PA与底面ABCD所成角的大小.
②求点N到平面CDP
16.(本小题17分)
已知0°∠A180°,点B,C分别为其两条边上不与点A重合的点.
(1)如图1,若∠A=60°,AB=4,△ABC为锐角三角形,求AC的取值范围.
(2)如图2,若∠A=60°,BC=4,以BC为边构造等边△BCD,设∠ABC=θ,试求AD的最大值.
(3)如图2,若AB=2,AC=4,以BC为边构造等边△BCD,试求AD的最大值.
17.(本小题13分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a?bc=sinC?sinBsinA+sinB.
(1)求角A的大小.
(2)若cosB=17
18.(本小题15分)
为了解某地居民的月收入情况,某社会机构调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图,每组数据以区间
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