第06讲 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义.doc

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第06讲空间向量及其运算的坐标表示

【题型归纳目录】

题型一：空间向量的坐标表示

题型二：空间向量的直角坐标运算

题型三：空间向量的共线与共面

题型四：空间向量模长坐标表示

题型五：空间向量平行坐标表示

题型六：空间向量垂直坐标表示

题型七：空间向量夹角坐标表示

【知识点梳理】

知识点一、空间直角坐标系

1、空间直角坐标系

从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系SKIPIF10，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是SKIPIF10平面、yOz平面、zOx平面.

2、右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3、空间点的坐标

空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

知识点二、空间直角坐标系中点的坐标

1、空间直角坐标系中点的坐标的求法

通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.

特殊点的坐标：原点SKIPIF10；SKIPIF10轴上的点的坐标分别为SKIPIF10；坐标平面SKIPIF10上的点的坐标分别为SKIPIF10.

2、空间直角坐标系中对称点的坐标

在空间直角坐标系中，点SKIPIF10，则有

点SKIPIF10关于原点的对称点是SKIPIF10；

点SKIPIF10关于横轴(x轴)的对称点是SKIPIF10；

点SKIPIF10关于纵轴(y轴)的对称点是SKIPIF10；

点SKIPIF10关于竖轴(z轴)的对称点是SKIPIF10；

点SKIPIF10关于坐标平面SKIPIF10的对称点是SKIPIF10；

点SKIPIF10关于坐标平面SKIPIF10的对称点是SKIPIF10；

点SKIPIF10关于坐标平面SKIPIF10的对称点是SKIPIF10.

知识点三、空间向量的坐标运算

(1)空间两点的距离公式

若SKIPIF10，则

①SKIPIF10

即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

②SKIPIF10，

或SKIPIF10.

知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量SKIPIF10的坐标表示，然后再用模长公式推出。

(2)空间线段中点坐标

空间中有两点SKIPIF10，则线段AB的中点C的坐标为SKIPIF10.

(3)向量加减法、数乘的坐标运算

若SKIPIF10，则

①SKIPIF10;

②SKIPIF10;

③SKIPIF10;

(4)向量数量积的坐标运算

若SKIPIF10，则

SKIPIF10

即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。

(5)空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式

若SKIPIF10，则

(1)SKIPIF10.

(2)SKIPIF10.

知识点诠释：

①夹角公式可以根据数量积的定义推出：

SKIPIF10，其中SKIPIF10的范围是SKIPIF10

②SKIPIF10