高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第08课时离散型随机变量的分布列、均值与方差(原卷版+解析).docxVIP

第8课时离散型随机变量的分布列、均值与方差

编写：廖云波

【回归教材】

1.离散型随机变量的分布列

(1)随着试验结果变化而叫做随机变量．所有取值可以的随机变量叫做离散型随机变量．

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：

①，i＝1,2，…，n；②＝1.

2.期望与方差

(1)离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．

(2)离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．

3.离散型随机变量的期望与方差性质

(1)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．

的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．

(2)为随机变量，为常数，则；

X

0

1

P

1－p

p

(3)二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．

4.两点分布

如果随机变量X的分布列为

其中0p1，则称离散型随机变量X服从．其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

4.超几何分布

X

0

1

…

m

P

eq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))

eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))

…

eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝0,1,2，…，m)．即

其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果随机变量X的分布列具有上式形式，那么称随机变量X服从超几何分布

【典例讲练】

题型一随机变量的概念

【例1-1】写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果：

(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X；

(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；

(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.

归纳总结：

【练习1-1】写出下列随机变量可能的取值，并且说明随机变量所表示的意义.

(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数；

(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为，所得点数的最大值为．

题型二离散型随机变量分布列的性质

【例2-1】【多选题】设随机变量的分布列为，则（???????）

A．B．C． D．

【例2-2】【多选题】设离散型随机变量的分布列为：

0

1

2

3

4

0.4

0.1

0.2

0.2

若离散型随机变量满足：，则下列结论正确的有（???????）

A． B． C． D．

归纳总结：

【练习2-1】设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（???????）

X

0

1

2

3

P

0.1

a

b

0.1

A． B． C． D．

【练习2-2】【多选题】设，随机变量的分布列为：

0

m

1

P

则当m在（0，1）上增大时，（???????）

A．减小 B．增大

C．先增后减，最大值为 D．先减后增，最小值为

题型三离散型随机变量的期望与方差

【例3-1】【多选题】若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（???????）

A． B． C． D．

【例3-2】某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．

(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；

(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行