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6.4.3.1余弦定理
一.余弦定理
1余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即
2.变形:
例1(1)在中,B=30°,BC=2,AB=,则边AC的长等于()
A. B.1 C. D.2
(2)在中,,,则角的最大值为()
A. B. C. D.
(3).四面体中,,,,,若为中点,则长为___________.
举一反三
1.在中,那么()
A.7 B.8 C.9 D.10
2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若C=60°,a=5,b=8,则△ABC的周长为()
A.20 B.30 C.40 D.25
3.设的三个内角、、所对的边分别为、、,如果,则角等于()
A. B. C. D.
4.已知三角形的三边之比为5:7:8,则该三角形最大角的余弦值是_____________.
5.在中,角的对边分别为.若,则的最小值是___________.
二、利用余弦定理判断三角形形状:
设、、是的角、、的对边,则:
=1\*GB3①若,,所以为锐角
=2\*GB3②若
=3\*GB3③若,所以为钝角,则是钝角三角形
例2.(1)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则是()
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
(2).中三边上的高依次为,则为()
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在这样的三角形
(3).在中,,,,则下列四个结论中正确的是(多选)()
A.
B.若,则为锐角三角形.
C.若,则为直角三角形
D.若,则为直角三角形
举一反三
1.在中,内角的对边分别是,若,则为()
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.在中,若,则的形状是().
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
3.已知钝角三角形的三边a=k,b=k+2,c=k+4,则k的取值范围是___________.
巩固提升
一、单选题
1.已知的内角,,所对的边分别为,,,若,,,则()
A. B. C. D.
2.已知三角形的边长分别为2,3,4,则它的最大内角的余弦值是()
A. B. C. D.
3.内角的对边分别为,已知,则()
A. B. C. D.
二、多选题
4.△ABC中,,A=60°,AC=4,则边AC上的高是()
A. B. C. D.
5.在中,角、、的对边分别是、、,下列等式成立的是()
A. B.
C. D.
6.在中,若,则a的值可以为()
A. B. C.· D.
三、填空题
7.中,角A?B?C所对的边分别是a?b?c,若,,,则___________.
8.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若A=45°,a=,b=,则c=___________.
四、解答题
9.在△中.
(1)已知,,,求;
(2)已知,,,求a;
(3)已知,,,求A;
(4)已知,,,求c.
10.已知函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在中,角所对的边分别为,若,求.
6.4.3.1余弦定理
一.余弦定理
1余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即
2.变形:
例1(1)在中,B=30°,BC=2,AB=,则边AC的长等于()
A. B.1 C. D.2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用余弦定理即得.
【详解】
由余弦定理,得,
解得AC=1.
故选:B.
(2)在中,,,则角的最大值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设,则,利用基本不等式求出的最小值,结合角的取值范围可求得角的最大值.
【详解】
设,则,由余弦定理可得,
当且仅当时,等号成立,因为,则.
故选:A.
(3).四面体中,,,,,若为中点,则长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得,,由,求得,计算即可得出结果.
【详解】
在中,,
由余弦定理可得,,
所以,
同理,在中,,
在中,,,所以,
因为E为CD的中点,则在中,,
,
所以
故答案为:
举一反三
1.在中,那么()
A
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