适用于老高考旧教材广西专版2025届高考数学二轮总复习题型专项集训题型练3大题专项一理.docVIP

题型练3大题专项(一)

三角函数、解三角形综合问题

1.(2024北京,16)在△ABC中,sin2C=3sinC.

(1)求角C;

(2)若b=6,且△ABC的面积为63,求△ABC的周长.

2.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17

(1)求A;

(2)求AC边上的高.

3.在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,

4.(2024广西桂林模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=π3,△ABC的面积为23

(1)若sinB=4sinC,求a;

(2)若a=3,求cosBcosC的值.

5.已知函数f(x)=3acos2ωx2+12asinωx-32a(ω0,a0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x

(1)求ω与a的值;

(2)若f(x0)=835,且x0∈-103,23,求

6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA-π6sinA

(1)求角A的大小;

(2)若△ABC为锐角三角形,a=1,求△ABC的周长的取值范围.

题型练3大题专项(一)

三角函数、解三角形综合问题

1.解(1)由sin2C=3sinC,得2sinCcosC=3sinC.

∵角C是三角形的内角,∴sinC0,∴cosC=3

又0Cπ,∴C=π

(2)∵S△ABC=63,∴12absinC=

又b=6,C=π6,∴12×6×a×

解得a=43

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(43)2+62-2×43×6×32=12,∴c=

∴△ABC的周长为43+6+23=63+6.

2.解(1)在△ABC中,∵cosB=-17,∴B∈

∴sinB=1

由正弦定理,得asin

∴sinA=3

∵B∈π2,π,∴A∈

(2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=3

如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.

∵sinC=hBC,∴h=BC·sinC=7×

∴AC边上的高为3

3.解方案一:选条件①.

由C=π6和余弦定理,得

由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.

于是3b2+

由①ac=3,解得a=3,b=c=1.

因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.

方案二:选条件②.

由C=π6和余弦定理,得

由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.

于是3b

由此可得b=c.所以B=C=π

由A+B+C=π,得A=π-π

由②csinA=3,即csin2π3

所以c=b=23,a=6.

因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=23

方案三:选条件③.

由C=π6和余弦定理,得

由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.

于是3b2+

由③c=3b,与b=c冲突.

因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.

4.解(1)由A=π3,△ABC的面积为23,得12bcsinπ3=23,所以

由sinB=4sinC,得b=4c,所以b=42,c=2

所以a2=(42)2+(2)2-2×42×2

所以a=26

(2)由正弦定理得3sin

所以b=23sinB,c=23sinC,

所以12sinBsinC=bc=8,所以sinBsinC=2

由B+C=2π3,得cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC=-

所以cosBcosC=1

5.解(1)由已知可得f(x)=a32cosωx

∵BC=T2=4,∴T=8,∴ω=

由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=32BC=2

(2)由(1)知f(x0)=23sinπ4

即sinπ

∵x0∈-103,23,

∴cosπ4

∴f(x0+1)=23sinπ4x0+π4+π3=23sinπ4x0+π3+π4=23sinπ4x0+π3·cosπ4+cosπ4x

6.解(1)因为sinA-π6sinA

所以32sinA-12cosA-32sinA+12cosA=-14,即32sinAcosA-34sin2A-14cos

所以34sin2A-38(1-cos2A)-18(1+cos2A)=-14,整理得34sin2A+

所以sin2

因为A∈(0,π),所以2A+π6

所以2A+π6=5

(2)由正弦定理,得asinA=bsinB=csinC,又a=1,A=π3

所以a+b+c=1+233(sinB+sinC)=1+233sinB+sin2π3-

因为△ABC为锐角三角形,

所以0Bπ