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重庆市2024-2025学年高三数学上学期入学考试

一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．某单位为了解该单位党员开展学习党史学问活动状况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

党史学习时间（小时）

7

8

9

10

11

党员人数

6

10

9

7

8

则该单位党员一周学习党史时间的众数及第50百分位数分别是

A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9

3．经探讨发觉，某昆虫释放信息素后，在距释放处的地方测得信息素浓度y满意，其中A，K为非零常数.已知释放1s后，在距释放处2m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为

A． B． C． D．

4．函数的图象大致是

5．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格?的染色方法种数为

A．6 B．10 C．16 D．20

6．若，且，则下列结论正确的是

A． B． C． D．

7．已知，其中，则

A． B．

C． D．

8．已知函数，且，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

二、多选题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列有关命题的说法正确的有

A.的增区间为

B.“”是“”的充分不必要条件

C.若集合中只有两个子集,则

D.对于命题:存在,使得,则:随意,均有

10.在中,已知,则

A.的最大值为

B.的最小值为1

C.的取值范围为

D.为定值

11.定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的有

A.与共轭的双曲线是

B.互为共轭的双曲线渐近线不相同

C.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上

D.互为共轭的双曲线的离心率为,则

12.已知函数,则下列说法正确的有

A.在单调递增

B.为的一个微小值点

C.无最大值

D.有唯一零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知,若,则_____.

14.若,则_____.

15.已知为上的奇函数,且,当时,,则_____.

16._____.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)已知.

(1)求的值;

(2)求的值.

18．（本小题12分）已知函数，若在点处的切线方程为．

(1)求的解析式；

(2)求函数在上的值域．

19．（本小题12分）如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

20．（本小题12分）某单位为了激发党员学习党史的主动性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行竞赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局竞赛可获得积分，第一局获胜得3分，其次局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参与了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和其次局竞赛获胜的概率分别为p（0＜p＜1），，且各局竞赛互不影响.

(1)若，记小张一天中参与“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试问当p为何值时，取得最大值.

21．（本小题12分）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.

(1)求点的轨迹的方程.

(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点改变时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.

22．（本小题12分）已知函数．

(1)若的最小值为，求的值；

(2)证明：当时，有两个不同的零点，，且．

数学试题参考答案：

单选题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

D

A

B

B

C

C

A

多选题

题号

9

10

11

12

答案

ABD

ACD

CD

ABC

填空题

题号

13

14

15

16

答案

-32

解答题

17.(1)因为均为锐角,所以.又,

所以.

所以

（2）依据第（1）问可知，

所以

18．(1)(2)

（1）因为，所以，

由题意得，所以，；

故的解析式为

（2）由（1）得，，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极