重庆市第一中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题.docxVIP

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重庆市第一中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数满足（i为虚数单位），则（????）

A．2 B．4 C． D．

2．若直线的倾斜角为，则实数值为（????）

A． B． C． D．

3．已知单位向量，满足，且，则向量与的夹角是（????）

A． B． C． D．

4．用、、表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（????）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

5．已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．若的内角，，对边分别是，，，，且，则角大小为（????）

A． B． C． D．

7．在正三棱台中，，，二面角的正弦值为，则的外接球体积为（????）

A． B． C． D．

8．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知两椭圆和，则（????）

A．两椭圆的焦距相等 B．两椭圆的离心率相等

C．两椭圆有2个交点 D．两椭圆有4个交点

10．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（????）

A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为

C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为

11．棱长为2的正方体中，，，，则（????）

A．三棱锥的外接球半径为

B．直线与直线所成角的余弦值的最小值为

C．时，过点作直线的垂面，则平面截正方体所得截面面积为

D．若，则三棱锥的体积为

三、填空题

12．圆锥的母线与底面所成角为60°，高为，则该圆锥的侧面积为.

13．等腰直角中，，，，与交于点，若，则.

14．锐角的面积为，且，若恒成立，则实数的最大值为．

四、解答题

15．已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点.

(1)若直线与圆相切，求直线的方程；

(2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程.

16．已知的面积为，且.

(1)求角；

(2)若，，求的长度.

17．五面体中，，，，均为正三角形.

??

(1)证明：；

(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.

18．椭圆的对称中心为坐标原点，且与椭圆：的离心率相等，焦点在同一坐标轴上，椭圆的长轴长与椭圆的长轴长之比为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作两条相互垂直的直线、，其中直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的取值范围.

19．三维空间中，如果平面与球有且仅有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系中，球的半径为，记平面、平面、平面分别为、、.

(1)若棱长为的正方体、棱长为的正四面体的内切球均为球，求的值；

(2)如果在球面上任意一点作切平面，记与、、的交线分别为、、，求到、、距离的乘积的最小值（结果用表示）.

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参考答案：

1．D

【分析】根据复数的除法法则求得，再利用模长公式即可求解.

【详解】由可得，

所以.

故选：D

2．C

【分析】根据斜率定义，结合诱导公式可得.

【详解】由题知，，

解得.

故选：C

3．D

【分析】根据数量积计算向量的夹角；

【详解】因为，两边平方可得，解得，

则

故选：D.

4．A

【分析】对于A，由，，所以或，结合面面垂直的判定定理即可判断；对于BCD，在正方体中举反例即可判断错误.

【详解】对于A，因为，，所以或，

当时，，所以，

当时，由线面平行的性质定理可得内有一条直线与平行，

则，所以，故A正确；

对于B，在正方体中，平面，平面，

但与相交，故B错误；

对于C，在正方体中，，但与相交，故C错误；

对于D，在正方体中，平面，，但平面，故D错误.

故选：A

5．A

【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围.

【详解】圆C：可化为，

则圆心，半径为，

由可得，

联立，解得，

直线l：恒过定点，

点在圆C内，

的最大值为，

当直线时，取得最小值，此时，

，

故线段AB长度的取值范围是.

故选：A.

6．B

【分析】由题意可得，结合余弦定理即可求解.

【详解】且，，即，

根据余弦定理可得，

又，.

故选：B

7．B

【分析】记正三棱台上下底面的中心分别为，的中点分别为，的中点为，