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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
(四种常考题型)
知识点1空间中点、直线和平面的向量表示
1.空间直线的向量表示
设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点,
(1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使.
(2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使
2.空间平面的向量表示
①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得
②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.
知识点2平面的法向量
1.平面法向量的定义
如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合
2.平面法向量的求法
平面法向量的确定通常有两种方法:
(1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.
(2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系).
知识点3空间平行关系的向量表示
设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量.
线线平行
使得
注:用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合
证明线线平行的两种思路:
①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明;
②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示.
线面平行
注:证明线面平行时,必须说明直线不在平面内;
(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)特别强调直线在平面外.
面面平行
使得
注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合
(1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.
知识点4空间垂直关系的向量表示
设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量.
线线垂直
(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直.
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
线面垂直
使得
(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.
面面垂直
(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
(2)法向量法:证明两个平面的法向量互相垂直
题型一 根据方向向量确定两直线的位置关系
1.已知直线的一个方向向量为,另一个方向向量为,则________,________.
2.设两条异面直线、的方向向量分别为,,则与所成的角为(????)
A. B. C. D.
3.已知向量分别是直线,的方向向量,若,则(????)
A.8 B.20 C. D.
4.已知直线l的一个方向向量,且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于(????)
A.0 B.1 C.2 D.3
5.设直线,的方向向量分别为,,若,则等于(????)
A.-2 B.2 C.-10 D.10
6.已知向量,分别是直线,的方向向量,若,则(????)
A., B.,
C., D.,
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求直线PC的一个方向向量.
8.(多选)已知直线、的方向向量分别是,若且,则的值可以是(????)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
9.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F分别是AD,BC的中点,设,,,以为空间的一个基底,求直线EF的一个方向向量.
题型二 求平面的法向量
10.如图,在长方体中,,,点在棱上移动.平面一个法向量为__________.
11.已知点在平面内,平面,其中是平面的一个法向量,则下列各点在平面内的是(????)
A. B. C. D.
12.设平面的一个法向量为,点在平面内,是内任意一点,则满足的关系式为________.
13.空间直角坐标系中,已知点,,,则平
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