2024年高中数学新高二暑期培优讲义第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（教师版）.doc

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第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题

【题型归纳目录】

题型一：定义法

题型二：坐标法

题型三：基底法

题型四：几何意义法

【知识点梳理】

知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：

1、定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

2、坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

3、基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

4、几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

知识点二．极化恒等式

1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

SKIPIF10

SKIPIF10SKIPIF10

SKIPIF10(1)

SKIPIF10(2)

(1)(2)两式相加得：

SKIPIF10

知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值．

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．

【典例例题】

题型一：定义法

例1．如图，在SKIPIF10中，M为线段SKIPIF10的中点，G为线段SKIPIF10上一点，SKIPIF10，过点G的直线分别交直线SKIPIF10，SKIPIF10于P，Q两点，SKIPIF10，SKIPIF10，则SKIPIF10的最小值为(????)．

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．3 D．9

【答案】B

【解析】因为M为线段SKIPIF10的中点，所以SKIPIF10，又因为SKIPIF10，

所以SKIPIF10，又SKIPIF10，SKIPIF10，所以SKIPIF10，

又SKIPIF10三点共线，所以SKIPIF10，即SKIPIF10，

所以SKIPIF10，

当且仅当SKIPIF10，即SKIPIF10时取等号.

故选：B.

例2．已知点SKIPIF10是SKIPIF10的SKIPIF10边上靠近点SKIPIF10的三等分点，点SKIPIF10是线段SKIPIF10上一点(不包括端点)，若SKIPIF10，则SKIPIF10的最小值为(????)

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】由题意得：SKIPIF10，SKIPIF10.因为SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10三点共线，所以SKIPIF10，

所以，SKIPIF10SKIPIF