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第
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第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一:定义法
题型二:坐标法
题型三:基底法
题型四:几何意义法
【知识点梳理】
知识点一.平面向量范围与最值问题常用方法:
1、定义法
第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步:运用基木不等式求其最值问题
第三步:得出结论
2、坐标法
第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步:将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
3、基底法
第一步:利用其底转化向量
第二步:根据向量运算律化简目标
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
4、几何意义法
第一步:先确定向量所表达的点的轨迹
第二步:根据直线与曲线位置关系列式
第三步:解得结果
知识点二.极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:
SKIPIF10
SKIPIF10SKIPIF10
SKIPIF10(1)
SKIPIF10(2)
(1)(2)两式相加得:
SKIPIF10
知识点三.在解三角形专题中,求其“范围与最值”的问题,一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题,通常有下列五种解题技巧:
(1)利用基本不等式求范围或最值;
(2)利用三角函数求范围或最值;
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值;
(4)根据三角形解的个数求范围或最值;
(5)利用二次函数求范围或最值.
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系,然后把角或边作为自变量,所求量(式子)的值作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范围过大.
【典例例题】
题型一:定义法
例1.如图,在SKIPIF10中,M为线段SKIPIF10的中点,G为线段SKIPIF10上一点,SKIPIF10,过点G的直线分别交直线SKIPIF10,SKIPIF10于P,Q两点,SKIPIF10,SKIPIF10,则SKIPIF10的最小值为(????).
A.SKIPIF10 B.SKIPIF10 C.3 D.9
【答案】B
【解析】因为M为线段SKIPIF10的中点,所以SKIPIF10,又因为SKIPIF10,
所以SKIPIF10,又SKIPIF10,SKIPIF10,所以SKIPIF10,
又SKIPIF10三点共线,所以SKIPIF10,即SKIPIF10,
所以SKIPIF10,
当且仅当SKIPIF10,即SKIPIF10时取等号.
故选:B.
例2.已知点SKIPIF10是SKIPIF10的SKIPIF10边上靠近点SKIPIF10的三等分点,点SKIPIF10是线段SKIPIF10上一点(不包括端点),若SKIPIF10,则SKIPIF10的最小值为(????)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】由题意得:SKIPIF10,SKIPIF10.因为SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10三点共线,所以SKIPIF10,
所以,SKIPIF10SKIPIF
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