上海市静安区2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研 数学试题【含答案】.docx

静安区2023学年第二学期教学质量调研

高一数学试卷

考生注意：

1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟．

2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．

一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1~5题每题3分，6~10题每题4分）

1．已知向量，则．

2．若复数满足（为虚数单位），则．

3．已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则．

4．已知角的终边经过点，则．

5．已知向量，且，则实数．

6．已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是．

7．在中，若，则

8．设是正实数，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图象，则的最大值．

9．已知角的终边经过点，则．

10．函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则．

二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分）

11．已知，则角的终边所在的象限为第（????）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

12．已知函数，且，则（????）

A．11 B．14 C．17 D．20

13．若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分53分）

14．已知一元二次方程．

(1)在复数范围内解该方程；

(2)设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示）

15．设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求．

16．化简下列各式：

(1)；

(2)．

17．已知函数．

(1)某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下：

0

0

1

0

0

0

0

0

请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间；

(2)将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围．

18．在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？

该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：

1．通过路口的车辆长度都相等；

2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；

3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；

4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；

5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．

一名建模爱好者收集数据整理如下：

1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；

2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；

3．前后车启动延迟时间记为，取；

4．第辆车启动延迟时间为；

5．该十字路口限速，换算为；

6．第辆车到达最高限速的时间为取．

设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：

(1)求；（结果保留一位小数，单位：）

(2)对于第辆车，写出函数的分段表达式；

(3)求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．

1．

【分析】根据向量数量积的坐标形式可求的值.

【详解】，故，

故答案为：.

2．

【分析】利用复数的除法可求，求出后可求.

【详解】，故，故，

故答案为：.

3．3

【分析】根据等比数列通项公式以及题意即可求解.

【详解】由题意可知，故，

所以.

故答案为：3.

4．##0.28

【分析】根据三角函数定义以及余弦倍角公式即可计算求解.

【详解】由题得，

故由三角函数定义得，

所以.

故答案为：.

5．2

【分析】根据坐标形式的向量加法规则求出，再利用向量共线的坐标表示直接计算即可.

【详解】由题，

又，故，.

故答案为：.

6．

【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标.

【详解】设，则，

故，即，解得，

故点的坐标为.

故答案为：.

7．

【分析】根据正弦定理可知，设，利用余弦定理即可求出．

【详解】由正弦定理，且，则，设，

由余弦定理，可得.

故答案为：.

8．

【分析】根据函数的概念求的最大值.

【详解】如图：

函数在第一象限的射线的倾斜角为，图象关于轴对称，

将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，当时，所得图象与垂直于的直线还是只有1个交点，所以仍然是函数的图象；