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6.1平面向量的概念
(一)向量的实际背景与概念
在现实生活中,我们会遇到很多量,其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来,如长度、质量等。还有一些量,如我们在物理中所学习的位移、力是一个既有大小又有方向的量,例如:物体受到的重力是竖直向下的(图2.1-1),物体的质量越大,它受到的重力越大;物体在液体中受到的浮力是竖直向上的(图2.1-2),物体浸在液体中的体积越大,它受到的浮力越大;被拉长的弹簧的弹力是向左的(图2.1-3),被压缩的弹簧的弹力是向右的(图2.1-4),并且在弹性限度内,弹簧拉长或压缩的长度越大,弹力越大。
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象,形成一种新的量。这种量就是我们本章所要研究的——向量。
向量是数学中的重要概念之一,向量和数一样也能进行运算,而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题,在这一章,我们将学习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课,我们将学习向量的有关概念。
向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量(物理学中常称为矢量)
(而把那些只有大小,没有方向的量如:年龄、身高长度、面积、体积、质量等,称为数量。物理学中常称为标量)
注意:1?数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
例1:给出下列物理量:
①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功;⑨时间.
其中不是向量的有()
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
举一反三
下列各量中,哪些是向量(即矢量),哪些是数量(即标量)?
(1)密度(2)体积(3)电阻(4)推进力(5)长度(6)加速度
向量:__________;数量:____________.(填写相应编号).
(二)向量的几何表示
对于向量,我们常用带箭头的线段——有向线段来表示,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向。
A起点B
A起点
B终点
我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为起点、
B为终点的有向线段记作,起点写在终点的前面。
已知,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作.
有向线段的三要素:起点、方向、长度。(知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定。)
向量的表示方法:
几何表示:①用有向线段表示;
字母表示:②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如:;
③用字母、、等表示。
问题1:“向量就是有向线段,有向线段就是向量。”的说法对吗?(提问)
(①向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与起点无关:只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;
②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段)
向量的长度(或称模):向量的大小,也就是向量的长度(或称模):记作。
零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作。
注意与0的区别(及书写方法)。
②长度等于1个单位的向量,叫单位向量。
说明:零向量、单位向量的定义都是只限制大小,不确定方向。
例2:下列结论中正确的为()
A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同
B.向量与向量的长度相等
C.对任意向量,是一个单位向量
D.零向量没有方向
举一反三
1.下列结论中,正确的是__.
①零向量只有大小没有方向
②对任一向量,||>0总是成立的
③||
④与线段BA的长度不相等.
2.图中,小正方形的边长为1,则||=__,||=__,||=__.
相等向量与共线向量
1.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
2.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,
规定:零向量和任何向量平行.
注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!(因为有);
④三点共线共线.
3.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.
例3.(1)如图,在矩形中,可以用同一条有向线段表示的向量是()
A.和 B.和
C.和 D.和
(2).下列叙述:
(1)单位向量都相等;
(2)若一个向量的模为0,则该向量的方向不确定;
(3)共线的向量,若起点不同,则终点一定不同;
(4)方向不同的两个向量一定不平行.
其中正确的有________.(填所有正确的序号)
举一反三
1.下列说法正确的是()
A.向量就是所在的直线平行于所在的直线
B.长度相等的向量叫做相等向量
C.若,则
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