高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)6.1平面向量的概念(讲义+例题+小练)(原卷版+解析).docxVIP

6.1平面向量的概念

（一）向量的实际背景与概念

在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等。还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是一个既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大。

我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。这种量就是我们本章所要研究的——向量。

向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课，我们将学习向量的有关概念。

向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）

（而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量。物理学中常称为标量）

注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

例1：给出下列物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．

其中不是向量的有（）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

举一反三

下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是数量（即标量）？

（1）密度（2）体积（3）电阻（4）推进力（5）长度（6）加速度

向量：__________；数量：____________.（填写相应编号）.

（二）向量的几何表示

对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。

A起点B

A起点

B终点

我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为起点、

B为终点的有向线段记作，起点写在终点的前面。

已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.

有向线段的三要素：起点、方向、长度。（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。）

向量的表示方法：

几何表示：①用有向线段表示；

字母表示：②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如：；

③用字母、、等表示。

问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？（提问）

（①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段）

向量的长度（或称模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模）：记作。

零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作。

注意与0的区别（及书写方法）。

②长度等于1个单位的向量，叫单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。

例2：下列结论中正确的为（）

A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B．向量与向量的长度相等

C．对任意向量，是一个单位向量

D．零向量没有方向

举一反三

1．下列结论中，正确的是__．

①零向量只有大小没有方向

②对任一向量，||＞0总是成立的

③||

④与线段BA的长度不相等．

2.图中，小正方形的边长为1，则||＝__，||＝__，||＝__．

相等向量与共线向量

1.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

2.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，

规定：零向量和任何向量平行.

注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有)；

④三点共线共线.

3.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.

例3．（1）如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）

A．和 B．和

C．和 D．和

（2）．下列叙述：

（1）单位向量都相等；

（2）若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；

（3）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；

（4）方向不同的两个向量一定不平行.

其中正确的有________.(填所有正确的序号)

举一反三

1．下列说法正确的是（）

A．向量就是所在的直线平行于所在的直线

B．长度相等的向量叫做相等向量

C．若，则