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南方科技大学2023年硕士研究生招生考试试题
科目代码：801科目名称：高等代数
考生注意：答案要写在答题纸上，写在试题纸上无效
+++=
1、线性方程组+++=。
{
+++=
（1）为何值时，方程组有解；
（2）有解时，求一般解。
2、为阶实矩阵，且=+，求所有满足条件的。
3、是阶可逆实方阵，=()。求的正、负和零特征值的个数。
4、若复方阵，满足=，则称是的一个平方根。
（1）举一个阶复方阵无平方根的例子；
（2）证明：所有二阶可逆复方阵一定有平方根；
()
（3）阶≥可逆复方阵是否一定有平方根？说明理由。
5、=ℝ×是×实矩阵生成的线性空间，映射：→，=，其中是秩为的阶实方
阵。
（1）验证为线性变换；
（2）求，ⅈ。̇
6、，是阶复方阵，满足+=。求证：=。
,∩=
ⅈ
{}
7、，⋯，是,,⋯,的非空子集的一个排序，矩阵()()中元素={。
−−×−ⅈ,=≠
ⅈ
求()()。
−×−
()
8、设是阶实方阵构成的线性空间，是的子空间且中所有非零元素都是可逆矩阵，=
ⅈ。
∈
()()
证明：（1）为奇数时，=；（2）为偶数时，≤。
1
9、(，（，）)是维实内积空间，向量组={,⋯,}⊂且(,)，≤ⅈ≠≤。
ⅈ
求证：≤+。
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