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第二章插值/*Interpolation*/§2插值函数的特点及寻求方法§1插值的概念主要内容§4埃尔米特插值§3拉格朗日多项式§5分段低次插值
?§1概念/*Concept*/?函数解析式未知,或计算复杂,用函数g(x)去近似代替它,使得g(x)=f(x)(i=0,…n),g(x)?f(x)ii这类问题称为插值问题。函数g(x)称为插值函数。x…0xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间称为插值区间。g(x)=f(x)称为插值条件。ii?本章只讨论多项式的插值问题,即构造n次多项式P(x)=a+ax+ax2n使满足P(x)=yn012nii+…+axg(x)?f(x)nx0x1x2xx3x4
§2插值函数的特点和寻求方法插值函数的特点Important!?它是几个函数的线性组合,有几个已知函数值,则有几项,每项的系数为已知函数值。?已知函数值前的函数叫形(状)函数,或叫基函数。(1)、形(状)函数值在节点处是“1”,在其它节点处是“0”。(2)、形(状)函数之和等于1。?(3)、形(状)函数只描述函数(图象)的形状,而函数值则是形函数的幅值。?节点处的函数值是精确的,其它各点的值是近似的。
插值函数的寻求方法?待定系数法?试凑法1.已知几个边界条件,插值函数就有几项.2.每一项由节点函数值和形函数构成.3.形函数在本节点的值为1,其它节点为0.?混合法:试凑法和待定系数法相结合的方法。
§3拉格朗日插值LagrangePolynomial希望找到l(x),i=0,…,n使得l(x)=?;然后令iijijn?1nyiP(x)?l(x)i=,则显然有P(x)=y。nImportant!niii=0l(x)每个l有n个根x…x…xii与in0节点有关,而与f无关Lagrangen?l(x)=C(x?x)...(x?x)...(x?x)=C(x?x)ii0inij?iPolynomialj1?l(x)=1C=j=0iii?j?i(xx)分子:哪个节点的形函数缺哪个坐标ij分母:哪个节点的形函数,哪个坐标在前?插值余项/*Remainder*/
n=1已知x,x;y,y,求使得0101P(x)=y,P(x)=y100111y1?y0x1?x0?x?x0x?x10y+y=+P(x)yxx=1()?xx?01xx10001l0(x)l1(x)n=2Important!
§3LagrangePolynomial定理的n阶插值多(唯一性)满足项式是唯一存在的。注:若不将多项式次数限制为n,则插值多项式不唯一。例如也是一个插值多项式,其中可以是任意多项式。
§4埃尔米特插值/*HermiteInterpolation*/?1概念/*Concept*/不仅要求函数值重合,而且要求若干阶导数也重合。即:要求插值函数?(x)满足?(x)=f(x),?’(x)=f’(x),iiii…,?(mi)(x)=f(mi)(xi).i注:?N个条件可以确定N?1阶多项式。?要求在1个节点x处直到m阶导数都重合的插00值多项式即为Taylor多项式其余项为?一般只考虑f与f’的值。2n+2个条件,可确定2n+1次多项式。
§4HermiteInterpolation?2方法/*Method*/——混合法例:设x?x?x,已知f(x)、f(x)、f(x)和f’(x),求多项式P(x)0120121满足P(x)=f(x),i=0,1,2,且P’(x)=f’(x),并估计误差。ii11解:首先,P的阶数=3模仿Lagrange多项式的思想,设2?=?P3(x)+f(x)h(x)f’(x)h(x)待定系数ii11试凑i=0??其中h(x)=?,h’(x)=0,(x)=0,’(x)=1hhijiji11i11有根且x,x,h’(x)=0?x是重根。=?2?h0(x)12011h(x)C(xx)(xx)又:h(x)=1?C0012000h(x)与hx完全类似。()02h1(x)有根hx=Ax+Bx?xx?xx,x?()()()()2
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