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专题11几何证明（解答题23题，中考固定题型）
一、解答题
1．（2024·上海静安·统考一模）已知：如图，在中，，是中点，点在延长线上，点在边上，．
求证：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明，见解析
(2)证明，见解析
【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可．
（1）根据，则，根据，，
则，再根据相似三角形的判定，即可；
（2）根据相似三角形的性质，则，根据是中点，则，再根据，相似三角形的判定，即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
2．（2024·上海嘉定·统考一模）如图，在中，，点是延长线上一点，点是斜边上一点，且．
(1)求证：；
(2)连接，在上取一点，使，过点作交于点．求证，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，得到，即可；
（2）由，推出，证明，得到，推出，即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得
??即，
，
∴，
，
，
，
．
3．（2024·上海长宁·统考一模）如图，在中，点分别是的中点，且，连接并延长交于点．
(1)证明：；
(2)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）根据等边对等角可得，再证这组夹角的两边成比例即可；
（2）作交于点H，可证，，推出，，进而可得，再根据得出，推出，等量代换可证．
【详解】（1）证明：，
，即，
又点分别是的中点，
，，
，
∴，
；
（2）证明：如图，作交于点H，
，
，；，，
，，
又点分别是的中点，
，，
，，
，
由（1）得，
，即，
，
．
4．（2024·上海金山·统考一模）已知：如图，在四边形中，对角线和相交于点O，．
(1)求证：；
(2)过点A作，交于点E．求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的证明两个三角形相似是解本题的关键．
（1）先证明，可得，结合，可得；
（2）证明，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，过点A作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．（2024·上海崇明·统考一模）如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且．
(1)求证：；
(2)联结，与相交于点O，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定是解题的关键．
（1）由及可得，则有；再由平行条件得，则可证明；
（2）由及，可得，则可得，进而得；再证明即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
（2）证明：∵
∴；
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
由（1）知，
∴，
∴，
即．
∵，
∴．
6．（2024·上海青浦·统考一模）已知：如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）先由，得到，再根据性质可得，由和等角的补角相等，得出，即可求证；
（）由，得，，，则有，从而证明，可得，故可证明；
此题考查了相似三角形的性质与判定．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．（2024·上海松江·统考一模）已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证：
(1)；
(2)
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
8．（2024·上海奉贤·统考一模）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．
(1)求证：；
(2)连接，如果，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判
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