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上海市16区2023-2024学年九年级数学一模24题解析汇编
1.（2024.杨浦区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是线段上一点，如果，求点的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式．
【解答】【小问1详解】
解：∵抛物线为，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
∴A（-1,0），B（3,0）
把x=3,y=0，代入解析式，
解得，
故抛物线解析式为．
【小问2详解】
如图，过点P作PH⊥y轴于H，
∵OB=OC=3
∴∠ABC=450，
∵，
∵∠ACB=∠PAC，
∴△ACB∽△PAC,
∴，
AC2=PC·AC，
由勾股定理，AC2=10，BC=3，
10=PC·3，
解得，PC=，
Rt△CHP中，∠HAP=450，
解得，PH=CH=，
故；
【小问3详解】
如图，过点P作PH⊥AB于H，过点F作FN⊥OA于N，延长NF交PE于M，
由点A（-1,0），点P（）得，AH=，PH=
则Rt△AHP中，tan∠HAP=，即tan∠NAF=，
∵tan∠β=，
∴∠NAF=∠β，
∵∠AFE=900，
∴∠NAF=∠α，
∴∠α=∠β，
∴MF=ME，
由同角的余角相等得，∠MFP=∠γ，
∴MF=MP，
∴M为EP的中点
∵点E的纵坐标为-4，点P的纵坐标为
由中点坐标公式得，
点M的纵坐标为
由点A（-1,0），点P（）得直线AP的解析式为，
设点F（m，），点M（m，），
∵MF=MP，
由两点间距离公式得，
，
化简得，27m2-42m-5=0，
解得，m1=-，m2=（舍去）
∴点M（-，），
则可求出直线AE的解析式，
∵点E的纵坐标为-4，
代入解析式得点E的横坐标为
故得平移后的抛物线解析式为.
2.（2024.徐汇区一模）如图，在平面直角坐标系xoy中，第二象限的点M在抛物线y=ax2（a＞0）上，点M到两坐标轴的距离都是2.
求该抛物线的表达式；
将抛物线y=ax2（a＞0）先向右平移个单位，再向下平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A（m，0）和点B（n，0），已知，m＜n，且mn=-4，与y轴负半轴交于点C.
①求k的值；
②设直线与上述抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD、CP，如果tan∠PCD=，求点P的坐标.
【解答】【小问1详解】
∵点M在第二象限，且点M到两坐标轴的距离都时2，
∴点M（-2,2），
把x=-2，y=2，代入解得，
a=，
∴抛物线的解析式是.
【小问2①详解】
∵平移后的抛物线解析式是，
∴平移后抛物线的对称轴是，
设点A，B到对称轴的距离是t，
∴点A（-t，0），B（+t，0），
∵点A，B的横坐标之积为-4，
∴（-t，0）（+t，0）=-4，
解得，t=（舍去负根），
∴点A（-1，0），B（4，0），
把x=4，y=0，代入，
解得，k=，
∴平移后的抛物线解析式是，即.
【小问2②详解】
如图，过点P作PH⊥CD延长线于H，
∵点C（0，-2），
点D在直线上，
点D（，-2），
点P在直线上，
∴设P（t，），则点H（t，-2）（t＞0），
∴CH=t，PH=-2，
∵tan∠PCD=，
∴，
，
解得，，
故P（）
3.（2024.普陀区一模）
九年级第一学期教材第2页
结合教材图形各处新定义
对于图形24-3中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形A1B1C1D1；放大四边形ABCD，得到四边形A2B2C2D2.
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动，将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形.图24-3中，四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2都与四边形ABCD形状相同，我们把形状相同的两个同学说成是相似得图形，或者说是相似形.
如图24-3，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线交于一点，并且这点与与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心.
填空：在图24-3中位似中心是点；
多边形是特殊的多边形（填“位似”或“相似”）
（2）位似在平面直角坐标系xoy中，二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将△OAB缩小，得到它的位似△OA1B1.
①画出△OA1B1，并求经过O、A、B三点的抛物线的表达式；
②设
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