清华大学2024年“丘成桐领军计划数学水平考试”试题 .pdf

2024年5月26日丘成桐数学领军计划

数学零试试题(修订版)

2024

题1.对于一个实数x,令{x}=x—[x].记S=mi。({}{(})血，则

一Jo

题2.已知圆锥面/+/=号，记沿该圆锥面从P(-v/3,3,6)到Q(A0,3)的曲线长

度的最小为值为I,则[10/]=.

题3.令A.B.C.D.E.F是三阶实方阵，且

已知

且C=A+B-I,贝][|detF|]=

题4.令S=「四则[罚=________

Ji

题5.令

(X)OO2

^=EEmn

2m(n2mm2n)

m=ln=l

则[1005]=

6

题6.fl(梦—5rrA;)=0有个实根.

k=l

1

题7.设4是一个三阶方阵，其元素为1,2,...,9,且满足每行元素从左到右递增，每列

元素从上到下递增，则满足条件的A有个.

题8.20阶实矩阵A满足=了20,且4在复数域上的所有特征值模长均不超过20,则

这样的互不相似的A有个.

题9.有理数加群(Q,),记所有分母不超过的10的有理数构成的子集为G,其对应的

陪集GZ记为G,则Q/易包含G的最小子群的阶为.

题10.V是10维列向构成的内积空间，对ueV,定义1/上线性变换九如下：

fuV—V

2(jj,u)u

XI——X7

给定V.weV,满足

0w)y(■〃)(初,w),

则扃。九可交换的V上的线性变换构成的空间的维数是.

题11.10阶矩阵A满足每行恰有5个1和5个0,则使得逐+54是一个全部元素均

为5的矩阵的A有个.

题12.5x5矩阵A的元素均取自{0,1,•••,14},满足(detA,15)=1的矩阵A的个数

记为N,贝［竣(N)=.

题13.给定3x3整数元矩阵

111120

1010-8

-1028

,已知存在整数元矩阵Q满足detF,detQe{-1,1},且MQ为对角矩阵，则MQ

最大元素的最大可能值为.

题14.令/=JI/°°*T°cosh(2时,则［|ln/|］=.

J—OO

题15.已知椭球体言+*+/《1,记过(0,0,1)的平面与该椭球的截面积最大值为I,

则［咎］=.

2

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数学零试参考解析

园.记S=j则

题1.对于一个实数X,令{%}=X

［罚=.

解析：759

S=£厂min(«},})d”253/min(长},£})