四川省乐山市2024届高三下学期第三次调查研究考试数学（理）试卷(含答案).docxVIP

四川省乐山市2024届高三下学期第三次调查研究考试数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知集合,则集合A的元素个数为()

A.9 B.8 C.6 D.5

2．已知a,,i是虚数单位,若和互为共轭复数,则复数的模为()

A.2 B. C.10 D.

3．已知,且为第二象限角,则()

A. B. C. D.

4．设双曲线,椭圆的离心率分别为,,若,则()

A. B. C. D.

5．设,则()

A.1 B.-1C.2024D.-2024

6．一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()

A.20 B.24 C.28 D.32

7．已知,若存在常数,使得为奇函数,则的可能值为()

A. B. C. D.

8．在区间上任取一个实数,则使函数存在两个极值点的概率为（）

A. B. C. D.

9．在中,点D是边上靠近点C的三等分点,若,,,则()

A. B. C. D.

10．若,,,则a,b,c的大小关系是()

A. B. C. D.

11．在三棱柱中,点D在棱上,满足,点M在棱上,且,点N在直线上,若平面,则()

A.2 B.3 C.4 D.5

12．已知圆,点,点E是上的动点,过E作圆O的切线,切点分别为A,B,直线与交于点M,则的最小值为()

A. B. C. D.

二、填空题

13．已知,是夹角为的单位向量,若,则实数的值是__________.

14．若关于x,y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形,则k的值为__________.

15．函数在区间上有且仅有3个零点,则m的取值范围是___________.

16．峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地,以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名.其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶,某游客一次上1个或2个台阶,设爬上第个台阶的方法数为,给出下列四个结论：

①;②;③;④.

其中所有正确结论的序号是_____________.

三、解答题

17．已知是等差数列的前项和.

（1）证明：是等差数列;

（2）设为数列的前项和,若,,求.

18．某学校举办了一次主题为“科技兴国,强国有我”的知识竞赛,并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人,统计他们的竞赛成绩（满分100分,每名参赛学生至少得60分）,并将成绩分成4组：,,,（单位：分）,得到如下的频率分布直方图.

（1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”,成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”.把随机抽取的参赛学生数据统计如下,将下列列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关.

科技知识达人

非科技知识达人

合计

男生

15

女生

合计

（2）将频率视为概率,从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈,记这3人中是“科技知识达人”的人数为,求的分布列与数学期望.

附：（其中）.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

19．如图,平行六面体中,底面是边长为2的菱形,且,,,与平面所成的角为,与交于O.

（1）证明：平面;

（2）求二面角的正弦值.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为,,A、C分别是椭圆E的上下顶点,B、D分别是椭圆E的左右顶点,点在椭圆E上,且的面积为.

（1）求椭圆E的方程;

（2）点Q是椭圆E上的动点（不与A,B,C,D重合）,l是E在点A处的切线,直线交于点M,直线交l于点N,求证：直线的斜率为定值.

21．已知函数,.

（1）讨论的单调性;

（2）令,若存在,使得成立,求整数的最小值.

22．在直角坐标系中,曲线的方程为,的方程为,是一条经过原点且斜率为正的直线.

（1）以坐标原点为极点,轴正方向为极轴建立极坐标系,求、的极坐标方程;

（2）若与、分别相交于异于原点的M、N两点,当时,求的直角坐标方程.

23．设不等式的解集为M,.

（1）证明：;

（2）比较与的大小.

参考答案

1．答案：C

解析：,共6个元素,

故选：C.

2．答案：B

解析：和互为共轭复数,,,

复数,,

故选：B.

3．答案：A

解析：

4．答案：B

解析：由已知得,,

又,

所以,解得.

故选：B.

5．答案：C

解析：由,

令,得,令,得,

所以.

故选：C.

6．答案：B

解析：由题可知该多面体的直观图如图所示,则该几何体的表面积.

7．答案：A

解析：

8．答案：D

解析：,

若函数存在两个极值点,

则有两个不相等的实根,

所以,解得或,

区间的长度为15,

所以由几何概型可得