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高中数学知识点总结统计
一、三种抽样方法
1.三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随
机抽样
是不放回抽样,抽样过程中,每个个体被抽到的机会(概率)相等
从总体中逐个抽取
—
总体中的个数较少
系统抽样
将总体均分成几部分,按事先确定的规则,在各部分抽取
在起始部分抽样时,采用简单随机抽样
总体中的个数比较多
分层抽样
将总体分成几层,分层进行抽取
各层抽样时,采用简单随机抽样或者系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
2.抽样方法的选取方法
(1)若总体由差异明显的几个层次组成,则选用分层抽样.
(2)若总体没有差异明显的层次,则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.
当总体容量较小时宜用抽签法;当总体容量较大,样本容量较小时宜用随机数表法;当总体容量较大,样本容量也较大时宜用系统抽样.
特别提醒
利用系统抽样的两个关键步骤:
(1)分组,当总体个数N能被样本容量n整除时,分为n个组,分段间隔k=eq\f(N,n);
(2)获取样本用简单随机抽样在第一组抽取起始数s,通常把起始数s加上间隔k得到第2个个体编号(s+k),再加上k得第3个个体编号(s+2k),依次进行下去,直到获取样本.
二、用样本估计总体
1.数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
定义
与频率分布直方图的关系
众数
出现次数最多的数据
最高的小长方形中的某个(些)点的横坐标
中位数
将数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的
平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
(2)极差、方差和标准差
极差:即一组数据中最大值与最小值的差.
方差:.
标准差:.
(3)性质
①若的平均数为,那么的平均数为.
②数据与数据的方差相等,即数据经过平移后方差不变.
③若的方差为s2,那么的方差为.
2.统计表
(1)频率分布的估计:频率分布是指各个小组数据在样本中所占比例的大小,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布,频率分布表是反映样本的频率分布的表格.通过频率分布直方图和频率分布表可以看到样本的频率分布.
(2)尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但是在实际应用中我们并不知道它的具体表达形式,需要用样本来估计.由于样本是随机的,不同的样本得到的频率分布折线图不同;即使对于同一个样本,不同的分组情况得到的频率分布折线图也不同.频率分布折线图是随样本容量和分组情况的变化而变化的,因此不能用样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线.
(3)估计总体分布的步骤是:
①选择适当的抽样方法从总体中抽取样本,即收集数据.
②利用样本数据画出统计图或计算数字特征.
③结合统计图分析样本取值的分布规律.
④用样本取值的分布规律估计总体分布,由于是用科学抽样抽取的样本,那么样本与总体取值的分布规律近似,有时也可看成相同.
⑤利用总体分布解决有关问题.
(4)各种统计表的优点与不足
优点
不足
频率分布表
表示数据较确切
分析数据分布的总体态势不方便
频率分布直方图
表示数据分布情况非常直观
原有的具体数据信息被抹掉了
频率分布折线图
能反映数据的变化趋势
不能显示原有数据
茎叶图
一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;二是茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况
样本数据较多或数据位数较多时,不方便表示数据
特别提醒
频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线都是描述样本数据分布情况,估计总体频率分布规律的,其联系如下:
三、变量间的相关关系
1.相关关系
当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性,则这两个变量之间的关系叫做相关关系.即相关关系是一种非确定性关系.
当一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,则这两个变量正相关;
当一个变量的值由小变大时,而另一个变量的值由大变小,则这两个变量负相关.
2.散点图
将样本中的n个数据点描在平面直角坐标系中,所得图形叫做散点图.
从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为正相关,点散布在从左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为负相关.
具有正相关关系的两个变量的散点图如图1,具有负相关关系的两个变量的散点图如图2.
3.回归分析
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,则这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.
回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程).
4.回归方程的求解
(1)求回归方程的方法是最小二乘法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小.
若变量x与y具有线性相关关系,有n个样本数据,则回归方程中,.
其中,称为样本点的中心.
(2)线性回归模型,其中称为随机误差
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