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PAGE10
2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题
一、填空题(每题10分,共80分)
1.已知关于x的两个方程:x2?x?3m?0……①,x2?x?m?0……②,其中m?0.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍,则实数m的值是
已知梯形ABCD中AB//CD,?ABC?90?,BD?AD,BC?5,BD?13,则梯形
ABCD的面积为 。
从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张,则抽出的卡片编号都大于等于
2的概率为 .
将8个数,-7、-5、-3、-2、2、4、6、13排列为a,b,c,d,e,f,g,h,使得
(a?b?c?d)2?(e?f?g?h)2的值最小,则这个最小值为 .
已知正方形ABCD边长为4,E,F分别在AB,BC上,AE?3,BF?2,AF,DE交于
G,则四边形DGFC的面积为。
在等腰直角三角形 ABC 中,?ACB?90?,P是?ABC内一点,使得
PA?11,PB?7,PC?6,则AC边长为 。
有10名象棋选手进行单循环赛,规定每场比赛胜方得2分,负方得0分,平局各得1分,
4
比赛结束后发现每位选手得分各不同,且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 ,则
5
第二名选手得分是 。
已知a、b、c、d都是素数(可以相同),并且abcd是35个连续正整数之和,则
a?b?c?d的最小值为 .
二、解答题(第9、10题每题15分,第11、12题每题20分,共70分)
如图,矩形ABCD的对角线交于O,已知?DAC?60?,?DAC的平分线与DC交于S,
直线OS,AD相交于L,直线BL与AC交于M。求证:SM//LC.
L
D S Q CM
O
A B
*9、已知ABCD是平行四边形,⊙ABD交AC于点E,点P在BD上,且∠DCA=∠PCB。
DEPAB求证:∠
D
E
P
A
B
C
求所有正整数组a?b?c?d?e?f,使得a!?b!?c!?d!?e!?f!.
①求证:存在整数x,y,满足x2
4xy?y2
?2022,
②是否存在整数x,y,满足x2
4xy?y2
?2011?请证明你的结论。
4n?312、(1)已知正整数a,b,n(a?b)满足n2?1?ab,证明:a?b
4n?3
(2)确定所有的正整数n,使得式①中的等号成立。
整数n?1,它的所有不同的素因子为p,p
1 2
,L,p
k
,对于每个1?i?k,存在正整数
a,使得pa
?n?pa?1。记p(n)?pa
pa
?L?pa
,例如p(100)?26
?52
?89.
iii i i
i
i
1 2 k
1 2 k
①找出一个正整数n,使得p(n)?n;
②证明:存在无穷多个正整数n,使得p(n)?
11n.
10
2012年上海市初中数学竞赛(新知杯)
一、填空题(每小题10分)
1、△ABC底边BC上的高为3,直线l,l
1 2
平行于BC且将△ABC的面积等分为三部分,那
么l,l
1 2
间的距离为 。
2、设p 为两个骰子项面上的数字之和为n的概率,则p ?p ?p ?p ?p ???。
(n) (1) (2) (3) (4) (5)
3、在平面直角坐标系中点A(1,0),B在直线y?3x上,求所有的B点的坐标,使得OAB
为等腰三角形。
4、矩形ABCD中,AD=5,AB=9,AE=CG=3,DF=BH=4,P为矩形ABCD内一点且
S ?15,那么S
AEPH
PFCD
???。
5、已知m4
?3m2
9为素数,那么满足要求的m有 个。
6、线段AB=10,P到AB的距离为3,已知PA?PB最小,则PA?PB???。
7、梯形ABCD的上底、高、下底为从小到大的三个连续正整数且且这三个正整数使
x3?30x2?ax(a为常数)的值为同样顺序的三个连续正整数,那么梯形ABCD的面积
为 。
8、把
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