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广告费、售价与利润的关系

一、摘要：

本文是一类最优化求解问题。通过研究某公司的经验数据，售价与预期销售

量（千桶）的数据表和广告费（千元）与销售因子的数据表，得到两组数据各自

的直观关系，并用Matlab进行拟合，得到两组数据的关系函数式：

XSL5.1333*SJ50.4222

R0.0004*GGF^20.0409*GGF1.0188

再将得到的关系函数式代人“利润=收入-成本-广告费”这一恒等式，便可得到

利润与广告费、售价的函数关系式：

LRSJGGFGGFSJGGF

(2)*(0.0004*^20.0409*1.0188)*(5.1333*50.4222)

之后，画出描绘三者关系的二维等高线图，由图粗劣可得到最优值横坐标在

[5.5,6.5]之间,纵坐标在[30,40]之间。取x0（6,35）为极点的初，调用

fminsearch函数求得最小值点。即当售价为5.9113元，广告费为35207.5元时，

利润最大，为118943.7元。

此模型的特点是，通过画出等高线图估计出极值的初值，比较直观简便。

关键字：相关分析模型拟合最优

二、问题重述：

某公司有一批以每桶2元购进的彩漆，为了获得较高的利润，希望以较高的

价格卖出，但价格越高，售出量就越少，二者之间的关系由表一给出。于是打算

增加广告投入来促销。而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述。例如，

投入3万元的广告费，销售因子为1.85，意味着做广告后的销售量将是未做广

告销售量的1.85倍。根据经验，广告费与销售因子的关系如表2，现请你作出

决策：投入多少广告费和售价为多少时所获得的利润最大?

表1

售价2．002．503．003．504．004．505．005．506．00

预期销413834322928252220

售量（千

桶）

表2

广告费（千元）010203040506070

销售增长因子1．001．401．701．851．952．001．951．80

三、模型假设：

1、公司有足够的资金可以用来投资；

2、市场条件稳定，物价稳定；

3、公司的销售活动不受其他互补商品、替代商品价格的影响；

4、彩漆价格越高，售出量就越少，并且呈现线性关系；

5、广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述，广告费与销售增长因子呈

二次函数关系；

四、符号说明：

XSL：预期销售量（千桶）

SJ：售价

R：销售增长因子

GGF：广告费（千元）

LR：利润

五、对问题和数据的分析：

本题主要要解决广告费、售价与利润的关系，求出利润最大时的广告费和售

价。因此，需要先求得预期销售量和销售增长因子的数学表达式，再通过“利润

=收入-成本-广告费”这一恒等式，得到利润与广告费、售价的函数关系式。

对于表1数据，通过Matab绘图工具可得出它们的直观关系，具体命令如

下：

x=2:0.5:6;

y=[413834322928252220];

pot(x,y,r.)

45

40

35

30

25

20

22.533.544.555.56

很显然，售价与预期销售量呈现线性递减关系，运用SAS的相关分析可得下

表，发现它们的相关系数为-0.99545，属于高度负相关。

而对于表2，输入命令如下，可得广告费与销售增长因子关系图。很明显，

广告费与销售增长因子呈现出开口向下的二次关系，随着广告费的增长，销售增

长因子会先逐渐变大，达到最高点后逐