高中数学优质课公开课第三章 章末复习课.pdf

第三章章末复习课

一、空间向量的概念及运算

空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向

量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，

加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、

数量积运算、夹角公式、求模公式等．

例1(1)[多选题]下列命题中不正确的是()

A．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

C．零向量是没有方向的

D．有向线段就是向量，向量是有向线段

答案：(1)ACD

解析：(1)A中，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，

A不正确；B中，两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同，

B正确；C中，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定，C不

正确；D中，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故D不

正确．故选ACD.

(2)如图所示，在平行六面体ABCD­ABCD中，以顶点A为端点的

1111

三条棱长都为1，且两两夹角均为60°.求：

①AC的长；

1

②BD与AC夹角的余弦值．

1

解析：(2)记AB＝a，AD＝＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉

1

1

＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.

2

AC22222

①|1|＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋

111

AC6

2×2+2+2＝6，∴|1|＝.

AC2AC3

②＝b＋c－a，＝+∴||＝，||＝，

11

AC22

1·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b－a＋a·c＋b·c＝1，

AC6

AC1·

∴cos⟨1，〉＝＝.

1AC6

跟踪训练1[多选题]如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长

为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下结论正确的是(

)

A．SA+SB+SC+SD＝0

B．(SA−SC)·(SB−SD)＝0

C．SA−SB+SC−SD＝0

SASBSCSD

D．·＝·

SASCSBSDCA

解析：可以推出：(−)·(−)＝·DB＝0，所以B正确；

SA−SB+SC−SD＝BA+DC＝0，所以C正确；又因为底面ABCD是

SASB

边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·