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2024年上海市高三数学竞赛试题

2024年3月24日上午9:30〜11:30

一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)

1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。的最小值是.

19

2.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3

局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)

3.计算

「2|「4「6II「2024、2，厂1厂3「5「7(厂2023、2_

(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—2024十^2024—口2024^2024；—

4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与

~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.

5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为

6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。—ABCD内接于该圆锥，平面

ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积

的最大值是•

7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.

8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3VQb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有

组.

二、解答题(每小题15分，共60分)

9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆

「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PBPC=0.求OP的最大值.

10.求所有正整数n(n3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1

(qb0).

11.数列｛。曷满足：Qi=Q2=1,an+2=an+1+an(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:

在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.

12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10

个数依次递减，记第2行的10个数之和为(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种

填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.

2024年上海市高三数学竞赛试题解析

一、填空题

1.【解析】

解:整理得上注=1,因此2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（0）29,等号成立当且仅当

ababba

〃=8=3时取得，则最小值是9.

2.【解析】

解:甲以3：0获胜的税率是Pq=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）=3*

以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.

株上所述，甲获It的概.率•是p=Pq+Pi+p?=共

XI

3.【解析】

解:由二项式定理可加

（6）皿=㈡抽皿+Um湖％…CicW板皿“，...+C魏〃皿

2024

令=展=|可得（1“皿=£。匕。）七整理仔

91012一厂0▲厂Ii厂2厂1ix,2024

《一I20M十I2（04,一七20M3024’十…30X

考落上述民子的实部和虚部町仔

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