重庆市名校2024_2025学年高二数学上期末试题汇编01立体几何含解析.docxVIP

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专题01：立体几何

1．（重庆南开中学2024-2025学年高二上期末）四棱锥，底面为矩形，面，且，点在线段上，且面.

(1)求线段的长；

(2)对于（1）中的，求直线与面所成角的正弦值.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）依据线面垂直得到，再由相像比得方程可求解；

（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，运用夹角公式先求线面角的余弦值，再转化为正弦值即可.

（1）

面，

在矩形中，易得：

；

（2）

如四建立空间直角坐标系：

则，

，

由题意可知：为平面的一个法向量，

，

，

直线与面所成角的正弦值为.

2．（重庆八中2024-2025学年高二上期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.

（1）求直线与所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设.

（1）写出、的坐标，利用空间向量法计算出直线与所成角的余弦值；

（2）求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可计算得出直线与平面所成角的正弦值；

（3）求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.

【详解】平面，四边形为正方形，设.

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则、、、、、.

（1），，

，

所以，异面直线、所成角的余弦值为；

（2）设平面的一个法向量为，，，

由，可得，取，可得，则，

，，

因此，直线与平面所成角的正弦值为；

（3）设平面的一个法向量为，，，

由，可得，得，取，则，，

所以，平面的一个法向量为，

，

由图形可知，二面角为锐角，

因此，二面角的余弦值为.

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

3．（重庆巴蜀中学2024-2025学年高二上期末）如图①，等腰梯形中，，分别为的中点，，现将四边形沿折起，使平面平面，得到如图②所示的多面体，在图②中：

(1)证明：平面平面；

(2)求四棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析.

(2)2

【分析】（1）依据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明；

（2）将所求四棱锥的体积转化为求即可.

（1）

证明：因为，面，面，

所以面，

同理面，

又因为面,

所以面面.

（2）

解：因为在图①等腰梯形中，分别为的中点，

所以，

在图②多面体中，因为，面，，

所以面.

因为，面面，面，面面,

所以面，

又因为面，

所以，

在直角三角形中，因为,所以，

同理，，

所以，

则，有，

所以.

所以四棱锥的体积为2.

4．（重庆巴蜀中学2024-2025学年高二上期末）三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，点在线段上.

(1)求证：；

(2)若点在上，满意，点满意，求实数使得二面角的余弦值为.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）证明平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.

(1)

证明：因为，，则且，

，平面，

所以为直线与平面所成的线面角，即，

，故，，

，平面，

平面，因此，.

(2)

解：设，由（1）可知且，，

因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

设平面的法向量为，，，

由，取，则，

由已知可得，解得.

当点为线段的中点时，二面角的平面角为锐角，合乎题意.

综上所述，.

5．（重庆·西南高校附中2024-2025学年高二上期末）已知直三棱柱中，，，E、F分别是、的中点，D为棱上的点.

(1)证明：；

(2)当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，

（2）求出平面DEF的法向量，利用空间向量求解

(1)

证明：因为三棱柱是直三棱柱，且，

所以两两垂直，

所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则

，，

设，则，

所以，所以，

所以

(2)

因为，所以，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

设直线BF与平面DEF所成角为，则

，

所以直线BF与平面DEF所成角的正弦值为

6．（重庆南开中学2024-2025学年高二上期末）